<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no  17 (fonction cube, vecteurs colinÃ©aires)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Sans calcul, ranger les nombres suivants par ordre croissant :
$14^3~;~ (-12)^3~;~32^3 ; (-20)^3~;~(-3)^3$
La fonction cube $ : x\mapsto x^3$ est croissante ;\\
$-20&lt;-12&lt;-3&lt;14&lt;32$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{(-20)^3&lt;(-12)^3&lt;(-3)^3&lt;14^3&lt;32^3}}$.

\subsection{}
On donne ci-dessous la courbe reprÃ©sentative de la fonction cube sur $[-2~;~2]$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.5,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-8)(2,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-2,-8)(2,8)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0](-2,-8)(2,8)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-2}{2}{x^3}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2}{2}{-2*x+4}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,8)(0,4)
\uput[r](1.5,3.375){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}[1)]
\item %ReprÃ©senter sur ce graphique la courbe reprÃ©sentative de la fonction $g : x\mapsto -2x+4$.
$g : x\mapsto -2x+4$ est une fonction affine, reprÃ©sentÃ©e par une droite. Il nous faut trouver deux points pour tracer cette droite.\\
CoordonnÃ©es de deux points :\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&amp;-2&amp;0\\
\hline
g(x)&amp;8&amp;4\\
\hline
\end{array}$
\end{center}


\item %En dÃ©duire les solutions approchÃ©es de l'Ã©quation \[x^3=-2x+4.\]
L'Ã©quation $x^3=-2x+4$ s'Ã©crit $f(x)=g(x)$.\\
Les solutions  de l'Ã©quation $x^3=-2x+4$ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes ; il n'y a qu'un point d'intersection. Son abscisse vaut environ 1,2 ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1,2\}}}$ 
\end{enumerate}

\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}[1)]
\item  Un cube a son arÃªte comprise entre 2 cm et 3 cm.\\
%Donner un encadrement, le plus prÃ©cis possible, de son volume.
Le volume d'un cube de cÃ´tÃ© $x$ est $v=x^3$.\\
Si $2\leqslant x\leqslant 3$, $2^3\leqslant x^3\leqslant 3^3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{8\leqslant v\leqslant 27}}$

\item Un cube a un volume de \numprint{1000} \si{\cubic\centi\metre}.\\
%Quelle est la longueur de son arÃªte ?
On a $x^3=\numprint{1000}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x=10}}$

\item Un cube a un volume au moins Ã©gal Ã&nbsp; 8 \si{\cubic\centi\metre}.\\
%Quelles sont toutes les longueurs possibles de son arÃªte ?
$v=x^3\geqslant 8=2^3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x\geqslant 2}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
On a reprÃ©sentÃ© un vecteur $\overrightarrow{u}$ ci-dessous.\\
ReprÃ©sentons les vecteurs $2\overrightarrow{u}$ ; $\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$ et $-\dfrac{5}{4}\overrightarrow{u}$.
\begin{center}
\psset{xunit=,yunit=,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-3)(8,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)()()
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-3)(8,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-&gt;}(0,2)(4,2)
\uput[u](3,2){$\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{-&gt;}(0,1)(8,1)
\uput[u](4,1){$\overrightarrow{2u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-&gt;}(0,0)(6,0)
\uput[u](3,0){$\overrightarrow{\dfrac{3}{2}u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{-&gt;}(7,-1)(2,-1)
\uput[d](4.5,-1){$\overrightarrow{-\dfrac{5}{4}u}$}

\end{pspicture}

\end{center}


\subsection{}
Soient A(- 3~;~3), B(2~;~5), C(4~;~0), D(-1~;~-2).
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer les coordonnÃ©es de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-(-3)=5\\5-3=2\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}4-(-1)=5\\0-(-2)=2\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}}$.
\end{enumerate}

\item %Quâ€™en dÃ©duit-on pour le quadrilaÃ¨re ABCD ?
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ car les deux vecteurs ont les mÃªmes coordonnÃ©es.\\
On en dÃ©duit que $ABCD$ est un parallÃ©logramme.

\end{enumerate}

\subsection{}
Soient $A(1~;~1)$, $B(4~;~2)$, $C(3~;~-1)$ et $D(12~;~2)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer le dÃ©terminant des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}$.\\
Alors : $\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{CD}\right)= \begin{vmatrix}3&amp;9\\1&amp;3\end{vmatrix}=9-9=0$.

\item %Que peut-on en dÃ©duire pour le quadrilatÃ¨re $ABDC$ ?
Le dÃ©terminant des deux vecteurs est nul : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinÃ©aires.\\
On en dÃ©duit que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallÃ¨les : $ABDC$ est un trapÃ¨ze.

\item %Exprimer $\overrightarrow{CD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
P	ar consÃ©quent : $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$ et il est clair que $k=3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{AB}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
%Les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{2}+\sqrt{3}\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{pmatrix}$ sont-ils colinÃ©aires ?
$\begin{vmatrix}\sqrt{2}+\sqrt{3}&amp;1\\1&amp;\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{vmatrix}\\
=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)-1\times 1=\sqrt{3}^2-\sqrt{2}^2-1\\
=3-2-1=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.\\
Les deux vecteurs sont colinÃ©aires.
\subsection{}

\begin{enumerate}[1)]
\item Dans un repÃ¨re (O~;~I~;~J), placer les points $A(3~;~4)$, $B(-1~;~3)$, $C(11~;~6)$.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-3)(12,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-2,-3)(12,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-3)(12,7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](3,4)(-1,3)(11,6)
\uput[u](3,4){A}
\uput[u](-1,3){B}
\uput[u](11,6){C}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2}{12}{x/4+13/4}
\end{pspicture}

\end{center}
\item %Calculer les coordonnÃ©es des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}12\\3\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item %Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinÃ©aires.
$\begin{vmatrix}-4&amp;12\\-1&amp;3\end{vmatrix}=(-4)\times 3-(-1)\times 12=-12+12=0$.\\
 $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinÃ©aires.

\item %Que peut-on en dÃ©duire pour les points $A$, $B$ et $C$ ?
On en dÃ©duit que $A$, $B$ et $C$ sont alignÃ©s.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>