<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} correction du TD\no 15 (fonction carrÃ© et fonction inverse)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Ci-dessous est reprÃ©sentÃ©e la fontion carrÃ©.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-5,-2)(3,6)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-5,-2)(3,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2.449}{2.449}{x^2}
\uput[r](2,4){$\mathscr{C}_f$}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-5}{3}{-3*x/5+1}
\uput[ur](0,1){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Tracer sur le Ã¨me graphique la droite reprÃ©sentative de la fonction affine $g : x\mapsto -\dfrac{3}{5}x+1$.\\
On a $g(x)=-\dfrac{3}{5}x+1$.\\
Pour tracer la droite $\mathscr{D}$ reprÃ©sentative de $g$, nous avons besoin de deux points.
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&amp;0&amp;-5\\
\hline
f(x)&amp;1&amp;2\\
\hline
\end{array}$

\end{center}

\item %En dÃ©duire les valeurs approchÃ©es des solutions de l'Ã©quation $x^2+\dfrac{3}{5}x-1$.
$x^2+\dfrac{3}{5}x-1$ Ã©quivaut Ã&nbsp; $x^2=-\dfrac{3}{5}x+1$ donc Ã&nbsp; \\
$f(x)=g(x)$.\\
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et de $\mathscr{D}$.\\
On trouve $\boxed{\textcolor{red}{x_1\approx -1,4}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{x_2\approx 0,8}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Rappel : une fonction $f$ est impaire si, pour tout $x$ de son ensemble de dÃ©finition, $f(-x)=-f(x)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $f : x\mapsto x+\dfrac{1}{x}$ la fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.\\
%$f$ est-elle impaire ?
Pour tout $x$, $f(-x)=-x+\dfrac{1}{-x}=-x-\dfrac{1}{x}\\
=-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=-f(x)$.\\
$f$ est  impaire.

\item Soit $g$ dÃ©finie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$.\\

\begin{enumerate}
\item %Calculer $g(-1)$ et $g(1)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g(-1)=(-1)^2+\dfrac{1}{-1}=1+(-1)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

\item $g(1)=1^2+\dfrac{1}{1}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$
\end{enumerate}

\item %$g$ est-elle impaire ? Est-elle paire ?
$g(-1)\neq -g(1)$ donc $g$ n'est pas impaire.\\
$g(-1)\neq g(1)$ donc $g$ n'est pas paire.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
On va Ã©tudier les variations de la fonction inverse $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$.\\

\begin{enumerate}[1)]
\item CommenÃ§ons par Ã©tudier les variations sur $]0~;~+\infty[$.\\
On prend deux nombres \textbf{quelconques} $a$ et $b$, avec $0&lt;a&lt;b$.\\
Il faut comparer leurs images $f(a)$ et $f(b)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(a)$ en fonction de $a$ et $f(b )$ en fonction de $b$.
$f(a)=\dfrac{1}{a}$ et $f(b)=\dfrac{1}{b}$.

\item %Calculer $f(b)-f(a)$ puis mettre le rÃ©sultat au mÃªme dÃ©nominateur.
$f(b)-f(a)=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a-b}{ab}}}$

\item %Ã‰tudier le signe du numÃ©rateur puis du dÃ©nominateur.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a&lt;b$ donc $a-b&lt;0$

\item $ab&gt;0$ puisque c'est le produit de deux nombrespositifs.
\end{enumerate}

\item %Quel est le signe de $f(b)-f(a)$ ?
Alors $\boxed{\textcolor{red}{f(b)-f(a)&lt;0}}$

\item Alors : $\boxed{\textcolor{red}{f(a)&gt;f(b)}}$.

\item %ComplÃ©ter par \og{}conserve\fg{} ou \og{}renverse\fg{}: \\
$f$ tenverse l'ordre. On en dÃ©duit que $f$ est dÃ©croissante sur $]0~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\item On s'intÃ©resse Ã&nbsp; l'intervalle $]-\infty~;~0[$.\\
On suppose que $a&lt;b&lt;0$.\\
%Reprendre la dÃ©marche prÃ©cÃ©dente ? Qu'est-ce qui change ? Qu'en conclut-on ?
On a toujours $f(b-f(a)=\dfrac{a-b}{ab})$.\\
Le numÃ©rateur est toujours nÃ©gatif ; le dÃ©nominateur est positif comme produit de nombres nÃ©gatifs.\\
$f$ est donc encore dÃ©croisante sur $]-\infty~;~0[$

\end{enumerate}
Le tableau de variation est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;&amp;0&amp;&amp;&amp;\pI\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\h{0}&amp;\d&amp;\mI&amp;\bb&amp;\h{\pI}&amp;\d&amp;0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\newpage


\subsection{}
%La fonction. Inverse $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est dÃ©croissante sur $Â°-~;~0[$ et sur $]0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Comparer, sans l'aide de la calculatrice, les nombres $\dfrac{1}{2,14}$ et $\dfrac{1}{2,15}$.
$2,14&lt;2,15$  donc $f(2,14)&gt;f(2,15)$ puisque $f$ renverse l'ordre donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2,14}&gt;\dfrac{1}{2,15}}}$

\item %Comparer, sans l'aide de la calculatrice, les nombres $\dfrac{1}{-3,14}$ et $\dfrac{1}{-\pi}$
$-3,14&gt;-\pi$ ; $f$ est dÃ©croissante donc \\
$f(-3,14)&lt;f(-\pi)$, d'oÃ¹ $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{-3,14}&lt;\dfrac{1}{-\pi}}}$
\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}
On souhaite tracer la courbe reprÃ©sentative de la fonction inverse, qu'on appelle \textbf{hyperbole}.
\begin{enumerate}[1)]
\item ComplÃ©ter le tableau de valeurs ci-dessous :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{c|}}\hline
x&amp;\dfrac{1}{4}&amp;\dfrac{1}{2}&amp;1&amp;2&amp;4\\
\hline
f(x)=\dfrac{1}{x}&amp;4&amp;2&amp;1&amp;\dfrac{1}{2}&amp;\dfrac{1}{5}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\item Placer les points correspondants dans le repÃ¨re ci-dessous :
\begin{center}

\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-7)(5,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-&gt;}(0,0)(-5,-7)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-5,-7)(5,7)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0.25,4)(0.5,2)(1,1)(2,0.5)(4,0.25)(-0.25,-4)(-0.5,-2)(-1,-1)(-2,-0.5)
\psplot[plotpoints=400,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-5.0}{-0.05}{1/x}
\psplot[plotpoints=400,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.05}{5}{1/x}
\uput[dl](-4,-0.25){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Relier les points le plus rÃ©guliÃ¨rement possible.
Voir courbe

\item %Puisque $f$ est impaire, la courbe $\mathscr{C}_f$ est symÃ©trique par rapport Ã&nbsp; l'origine $O$.\\
%Placer les symÃ©triques des points prÃ©cÃ©dents par rapport Ã&nbsp; $O$ et les relier rÃ©guliÃ¨rement.\\
%L'hyperbole, reprÃ©sentative de la fonction $ : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est constituÃ©e de deux branches.
Fait sur la courbe
\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>