<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 14 (valeur absolue et fonction carrÃ©)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%On rappelle que la distance de $a$ Ã&nbsp; $x$ est $\left\vert x-a \right\vert$.\\
RÃ©soudre l'Ã©quation $\left\vert x-3 \right\vert=\left\vert x-7 \right\vert$.\\
La distance de 3 Ã&nbsp; $x$ doit Ãªtre la mÃªme que celle de 7 Ã&nbsp; $x$.\\
$x$ est donc le, milieu de l'intervalle $[3~;~7]$ ; $x=5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\$5\}}}$
On pourra s'aider du graphique :
\begin{center}
\psset{xunit=0.7,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,yAxis=false]{-&gt;}(0,0)(-1,-1)(9,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](5,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{&lt;-&gt;}(3,0.1)(5,0.1)
\uput[u](4,0.2){$\left\vert 3-x \right\vert$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{&lt;-&gt;}(7,0.1)(5,0.1)
\uput[u](6,0.2){$\left\vert 7-x \right\vert$}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
Soit $f : x\mapsto x^2$ la fonction carrÃ©, donc $f(x)=x^2$.\\
Calculer : 

\begin{enumerate}[1)]
\item $f(2)=2^2=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $f(-5)=(-5)=\boxed{\textcolor{red}{25}}$

\item $f\left(\sqrt{2}\right)=\left(\sqrt{2}\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{2}}$

\item $f(-1)=(-1)^2=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $f(0)=0^2=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

\item $f\left(-\sqrt{3}\right)=\left(-\sqrt{3}\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{3}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
$f$ est toujours la fonction carrÃ©.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Quels sont les antÃ©cÃ©dents, s'ils existent, de 49 ?
Les antÃ©cÃ©dents, s'ils existent, de 49 sont les nombres  $x$ tels que $x^2=49$ ; on trouve  -7 ou 7 ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-7~;~7\}}}$

\item %Quels sont les antÃ©cÃ©dents, s'ils existent, de 3 ?
les antÃ©cÃ©dents de 3 sont $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.

\item %Quels sont les antÃ©cÃ©dents, s'ils existent, de -5  ?
$-5$ n'a pas d'antÃ©cÃ©dent car $x^2\geqslant 0$ pour tout $x$.

\item %Quels sont les antÃ©cÃ©dents, s'ils existent, de 0 ?
L'antÃ©cÃ©dent de 0 est $\boxed{\textcolor{red}{0}}$.
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Logique }}
$f$ est la fonction carrÃ©.\\
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la rÃ©ponse.
\begin{enumerate}[1)]
\item Tous les nombres rÃ©els ont exactement une image par $f$.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} ; $f$ est dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ et un antÃ©cÃ©dent n'a qu'une image.

\item Il existe un nombre rÃ©el qui nâ€™a pas dâ€™antÃ©cÃ©dent par $f$.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} ; par exemple -5 (voir exercice prÃ©cÃ©dent)

\item Tous les nombres rÃ©els ont, au plus, un antÃ©cÃ©dent par $f$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} ; les nombres strictement positifs ont deux antÃ©cÃ©dents.\\
Si $a&gt;0$, les antÃ©cÃ©dents de $a$ par $f$ sont $-\sqrt{a}$ est $\sqrt{a}$.

\item Il existe au moins un nombre rÃ©el qui a deux antÃ©cÃ©dents par $f$.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} ; oui, d'aprÃ¨s la question prÃ©cÃ©dente ; par exemple 4 a deux antÃ©cÃ©dents, -2 et 2.
\end{enumerate}

\subsection{}
%\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : $f$, dÃ©finie sur son ensemble de dÃ©finition $\mathscr{D}$ est une fonction paire si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(-x)=f(x)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $f$ la  fonction dÃ©finie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4$. \\%Montrer que $f$ est paire.
Pour tout $x$, $f(-x)=(-x)^4=[(-1)\times x]^4\\
=(-1)^4\times x^4=x^4=f(x)$ donc $f(-x)=f(x)$ ; $f$ est \textbf{\textcolor{red}{paire}}.

\item Soit $f$ la  fonction dÃ©finie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par \\
$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Pour $x$ quelconque, calculer $f(-x)$.
Pour tout $x$, $f(-x)=(-x)^2+\dfrac{1}{(-x)^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}$

\item %Comparer $f(-x)$ et $f(x)$.
Pour tout $x$, $f(-x)=f(x)$

\item %$f$ est-elle paire ?
On en dÃ©duit que $f$ est paire.
\end{enumerate}


\item Soit $f$ dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-x$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer $f(-1)$ et $f(1)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-1)=(-1)^ 2-(-1)=1+1=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.

\item $f(1)=1^2-1=1-1=\boxed{\textcolor{red}{0}}$
\end{enumerate}

\item %$f$ est-elle paire ?
$f(-1)\neq f(1)$ donc $f$ n'est pas paire ; la courbe reprÃ©sentative de $f$ n'est pas symÃ©trique par rapport Ã&nbsp; l'axe des ordonnÃ©es mais pa	r rapport Ã&nbsp; la droite parallÃ¨le Ã&nbsp; l'axe des ordonnÃ©es dont tous les points ont une d'abscisse Ã©gale Ã&nbsp; $\dfrac{1}{2}$. (Voir courbe ci-dessous)
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.2,yunit=1.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(3,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-2,-2)(3,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-2)(3,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2}{3}{x^2-x}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](0.5,-2)(0.5,7)
\end{pspicture}

\end{center}

\columnbreak

\subsection{}
$f$ est la fonction carrÃ©. ComplÃ©ter le tableau de variation ci-dessous ;
\begin{enumerate}[1)]
\item \phantom{}
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;0&amp;&amp;\pI\\
\hline
\m{f(x)}&amp;&amp;\d&amp;0&amp;\c&amp;\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Sachant que $0&lt;2,24&lt;2,25$ et que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$, comparer $2,24^2$ et $2,25^2$ sans les calculer.
$0&lt;2,24&lt;2,25$ ; $f$ est croisante sur $[0~;~+\infty[$ donc respecte l'ordre.\\
On en Ã©duir : $f(2,24)&lt;f(2,25)$ $\boxed{\textcolor{red}{2,24^2&lt;2,25^2}}$

\item Comparer avec une mÃ©thode analogue \\
%$(-3%,134)^2$ et $(-3,136)^2$.
$-3,134&gt;-3,136&lt;0$ ; sur $]-\infty~;~0]$, $f$ est dÃ©croissante donc renverse l(ordre.\\
Alors : $f(-3,134)&lt;f(-3,316)$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{(-3,134)^2&lt;(-3,136)^2}}$

\item %Comparer $3^2$ et $\pi^2$ (en justifiant).
$0&lt;3&lt;\pi$ et $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$ donc conserve l'ordre.\\
Alors $\boxed{\textcolor{red}{3^2&lt;\pi^2}}$

\item On veut comparer $(-3,223)^2$ et $3,32^2$.\\
%L'un des nombres est nÃ©gatif et l'autre positif ; $f$ n'est pas monotone (change de sens de variaton) sur $\mathbb{R}$, donc on ne peut pas utiliser les mÃ©thodes vues ci-dessus.\\

\begin{enumerate}[1)]
\item $f$ est paire donc \\
$(-3,223)^2=f(-3,223)=f(3,223)$.

\item Comparer $0&lt;3,223&lt;3,32$ donc $\boxed{\textcolor{red}{3,223^2&lt;3,32^2}}$ car la fonction carrÃ© est croisante sur $[0~;~+\infty[$.

\item %Conclure.
Comme $(-3,223)^2=3,223^2$, on a : $\boxed{\textcolor{red}{(-3,223)^2&lt;3,32^2}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>