\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 10 (fonctions affines) }}\end{center}


\subsection{}
Tracer la droite  passant par $E(-2~;~-1)$ et de coefficient directeur $m=3$.\\
On sait que si $m$ est le coefficient directeur, $m\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ; en choisissant $\Delta x=1$, on a $\Delta y=m$.\\
En partant de $E$, on se déplace de 1 unité et alors, on a un déplacement de $m=3$ unités en ordonnées.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-3)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-3)(5,7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,-1)
\uput[ul](-2,-1){E}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2.5}{0.7}{3*x+5}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}
$f$ est une fonction affine dont on donne le tableau de signes ci-dessous ;
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\phantom{1cm}\dfrac{5}{3}\phantom{1cm}&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}[a)]
\item %Que vaut $f\left(\dfrac{5}{3}\right)$ ?
$f\left(\dfrac{5}{3}\right)=0$ 

\item %Quel est le signe de $f(3)$ ?
$3>\dfrac{5}{3}$ donc $f(3)<0$.

\item %Quel est le signe de $f(2,66666)$ ?
$2,66666<\dfrac{5}{3}$ donc $f(\numprint{2,66666})>0$

\item %Quel est le signe de $f(0)$ ?
$0<\dfrac{5}{3}$ donc $f(0)>0$

\item %Proposer une expression possible de $f(x)$.
Une expression possible de $f(x)$ est $f(x)=-3x+5$
\end{enumerate}

\subsection{}
En France, les températures sont mesurées en degrés Celsius (\degre C).

%Les pays anglo-saxons utilisent le degré Fahrenheit (\degre F).
%(Anders Celsius, spannt suédois (1701-1744), Gabriel Fahrenheit, physicien allemand (1686-1736)
%La fonction $f$ qui, à une température $x$ en degrés Celsius, associe cette température en degrés Fahrenheit est une fonction affine telle que : 0\degre C = 32 \degre F et 100\degre C = 212\degre F.


\begin{enumerate}
\item %Déterminer la fonction $f$.
On a :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=32$ donc $a\times 0+b=32$ qui donne $b=32$ donc $f(t)=at+32$.

\item $f(100)=100a+32$ donc $100a+32=212$ qui donne $100a=180$ d'où $a=\dfrac{180}{100}=\dfrac{18}{10}=\dfrac{9}{5}$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{9}{5}x+32}}$

\end{enumerate}

\item %Déterminer la fonction affine $g$ qui permet de passer des degrés Fahrenheit aux degrés Celsius.
$y=\dfrac{9}{5}x+32$ donc $\dfrac{9}{5}x=y-32$ d'où $x=\dfrac{5}{9}(y-32)$.\\
On en déduit $g(x)=\dfrac{5}{9}(x-32)$

\item %Laquelle des deux températures, 25\degre C et 75\degre F, est la plus élevée?
$f(25)=\dfrac{9}{5}\times 25+32=45+32=77 \text{\degre F}$.\\
25 \degre C est une température plus élevée que 77 \degre F.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(Brevet Centre étrangers juin 2009)}}
Pour la saison 2008-2009, le théàtre \og MODECIA \fg{} propose les tarifs suivants :

\medskip

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item Tarif A : 150~\euro{} la carte permettant d'assister à  tous les spectacles. 
\item Tarif B : 75~\euro{}  l'abonnement pour la saison qui permet d'acheter une place pour 6~\euro.
\item Tarif C : 19~\euro{}  la place \og  plein tarif \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}[1)]

\item  %Compléter le tableau figurant dans l'annexe 1, qui sera à remettre avec votre copie.
Voir à la fin. 
\item  %Si $x$ est le nombre de spectacles auxquels Marc assiste durant la saison, écrire, en fonction de $x,~ P_{\text{A}}(X),~ P_{\text{B}}(x)$ et $P_{\text{C}}(x)$, le prix que devrait payer Marc, suivant le tarif utilisé. 
$P_{\text{A}}(X) = 150$ ;

$P_{\text{B}}(x) = 75 + 6x$ ;

$P_{\text{C}}(x) = 19x$.
\item  %Parmi ces trois fonctions y a-t-il une fonction linéaire ? Si oui laquelle ?
$P_{\text{C}}$ est une fonction linéaire. 
\item  %Dans l'annexe 2, qui sera à remettre avec votre copie, on a tracé les représentations graphiques $\left(T_{\text{A}}\right)$ et $\left(T_{\text{C}}\right)$ des fonctions  $P_{\text{A}}$ et $ P_{\text{C}}$. Tracer la représentation graphique $\left(T_{\text{B}}\right)$ de la fonction $P_{\text{B}}$ dans le repère de l'annexe 2.
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de spectacles	&3	&8		&14\\ \hline
Tarif A&150& 150	&150\\ \hline
Tarif B&93&123&159\\ \hline
Tarif C&57&152&266\\ \hline
\end{tabularx}

\item  %Si on dispose de 100~\euro, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C (laisser apparaître les tracés sur le graphique).
On pourra voir 5 spectacles. 
\item  %Retrouver graphiquement le tarif le plus intéressant pour voir huit spectacles.
On trace la verticale contenant les points d'abscisse 8 et on regarde quelle la droite rencontrée en premier, pour un coût minimum : on lit que c'est le tarif B pour un coût de 123~\euro.  
\item  %Résoudre l'inéquation : 	$19x > 6x + 75$.
$19x > 6x + 75$ soit $13x > 75$ ou $x > \dfrac{75}{13}$. Or $\dfrac{75}{13} \approx 5,8$.

On en déduit qu'à partir de 6 spectacles le tarif B est plus intéressant que le tarif C. 
%En déduire le nombre de spectacles pour lequel le tarif B est plus intéressant que le tarif C. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(15.5,170)
\multido{\n=0.0+0.5}{32}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+5}{35}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(15.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(15.5,170)
\psline(0,150)(15.5,150)
\psline(0,0)(8.94737,170)
\uput[d](14.5,150){$T_{\text{A}}$} \uput[r](9,170){$T_{\text{C}}$}
\uput[u](14.5,163){\blue $T_{\text{B}}$}
\uput[d](15.5,0){$x$} \uput[l](0,170){$y$}\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15.5}{6 x mul 75 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,100)(5.26,100)(5.26,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](8,0)(8,123)(0,123)
\end{pspicture}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  