\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de la feuille de TD \no 1 (théorème de Pythagore)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}[a)]
\item On considère le triangle $TGV$ , rectangle en $G$ où $GT = 54$ \si{\milli\metre} et $GV = 72$ \si{\milli\metre}. Calculer la valeur exacte de $TV$.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,6)
\pspolygon(0,0)(7.2,0)(0,5.4)
\psframe(1,1)
\uput[d](0,0){G}\uput[d](7.2,0){V}\uput[u](0,5.4){T}
\end{pspicture}
\end{center}
Le triangle $TGV$ est rectangle en $G$ ; d'après le théorème de Pythagore, on a :\\
$GT^2+GV^2=TV^2$, donc :\\
$54^2+72^2=TV^2$.\\
Alors : $TV^2=\numprint{8100}$ d'où $TV=\sqrt{\numprint{8100}}=90$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{TV=90 \text{~\si{\milli\metre}}}}$

\item On considère le triangle $TER$ rectangle en $E$ où $ER = 60$ \si{\milli\metre} et $TR = 65$ \si{\milli\metre}. Calculer le valeur exacte de $TE$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,3)
\pspolygon(0,0)(6,0)(0,2.5)
\uput[d](0,0){E}\uput[d](6,0){R}\uput[u](0,2.5){T}
\psframe(0.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $TER$.\\
$RT^2=ET^2+ER^2$ donc $65^2=ET^2+60^2$.\\
Alors = $ET^2=65^2-60^2=\numprint{4225}-\numprint{3600}=625$ .\\
On en déduit que : $ET=\sqrt{625}=25$.


\item On considère le triangle $YUV$ tel que $YU = 65$ \si{\milli\metre}, $YV = 72$ \si{\milli\metre} et $UV = 97$ \si{\milli\metre}. Ce triangle est-il rectangle ?\\
La plus grande longueur est $UV=97$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $UV^2=97^2=\numprint{9409}$

\item $YU^2+YV^2=65^2+72^2=\numprint{4225}+\numprint{5184}=\numprint{9409}$.
\end{enumerate}
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle, en $Y$
\end{enumerate}



\subsection{}
On considère la figure suivante :

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3,1.8)
\psset{unit=2,comma=true,algebraic=true}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=-90](1,0){C}\pstGeonode[PosAngle=0](2,1){D}\pstGeonode[PosAngle=135](0,1){B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslash]{A}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslash]{A}{C}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{C}{D}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{C}{B}
\pstLineAB{B}{D}
\pstLabelAB[nrot=:D]{C}{A}{1 \si{\centi\metre}}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{C}{A}{B}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{D}{C}{B}

\end{pspicture}
\end{center}
La figure est codée : $AB=AC=1$ cm.\\
$ABC$ est rectangle en $A$ ; d'près le théorème de Pythagore, $BC^2=1^2+1^2=2$ donc $BC=\sqrt{2}$.\\
De même, $CB=CD$.\\
Le théorème de Pythagore donne : $BD^2=CB^2+CD^2=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2=2+2=4$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{BD=2\text{~cm}}}$

\subsection{}
On considère la figure ci-dessous dans laquelle
$ABCD$ est un carré de côté 10 cm.
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $EF$ , $EC$ et $FC$.
On applique le théorème de Pythagore plusieurs fois dans trois triangles :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $EF^2=2,5^2+6^2=42,25$

\item $EC^2=4^2+10^2=116$

\item $CF^2=7,5^2+10^2=156,25$
\end{enumerate}

\item %Le triangle FEC est-il rectangle?
La plus grande longueur est $CF$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $CF^2=156,25$

\item $EF^2+EC^2=42,25+116=158,25$
\end{enumerate}
On en déduit que : $CF^2\neq EF^2+EC^2$.\\
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $FEC$ n'est pas rectangle.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,11)
\psframe(10,10)
\pspolygon(0,7.5)(6,10)(10,0)
\uput[d](0,0){D}\uput[d](10,0){C}
\uput[u](0,10){A}\uput[u](10,10){B}
\uput[l](0,7.5){F}\uput[u](6,10){E}
\uput[u](3,10){6 cm}
\uput[l](0,8.75){2,5 cm}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}

Un terrain $EFBCD$ a la forme indiquée sur la figure ci-dessos, où $ABCD$ est un carré.
\begin{enumerate}

\item %Calculer les valeurs exactes de $BC$ et $BF$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $BC=16-7=9$

\item $BF^2=6^2+7^2=36+49=85$ donc $BF=\sqrt{85}$.
\end{enumerate}

\item %Quelle est la longueur de la clôture nécessaire pour entourer le terrain ?
La longueur de la clôture nécessaire pour entourer le terrain est $L=9+14++16+8+\sqrt{85}=\boxed{\textcolor{red}{47+\sqrt{85}\approx 56,22}}$

\item %Quelle est l'aire de ce terrain ?
L'aire de ce terrain est $\mathscr{A}=\mathscr{A}(ACDE)-\mathscr{A}(ABF)=16\times 14-\dfrac{6\times 7}{2}=224-21=\boxed{\textcolor{red}{203~\si{\square\metre}}}$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=0.3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(17,15)
\psframe(16,14)
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(0,8)(7,14)(16,14)(16,0)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0)(16,14)
\psframe(1,1)
\psframe(15,0)(16,1)
\psframe(15,13)(16,14)
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AD=r$ donc $AC=r-2$

\item $ACE$ est une triangle rectangle.

\item D'après le théorème de Pythagore, on a :\\
$AE^2=AC^2+CE^2$ donc $r^2=(r-2)^2+8^2$.\\
D'où : $r^2=r^2-4r+4+64$.\\
En simplifiant les termes $r^2$, il vient : $4z=68$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{r=17}}$
\end{enumerate}



\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  