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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de l'AP séance \no 7 (milieux, distances)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soient $A(5~;~8)$ et $B(2~;~-6)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{5+2}{2}=\dfrac{7}{2}$

\item $y_M\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{8+(-6)}{2}=1$
\end{enumerate}

\item $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ donc $B$ est le milieu de $[AD]$
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-21)(6,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-21)(6,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-21)(6,9)
\pstGeonode[PosAngle={0,0,0}](5,8){A}(2,-6){B}(-1,-20){D}
\pstSegmentMark{A}{B}
\pstSegmentMark{B}{D}
\end{pspicture}
\end{center}

%Calculer les coordonnées de $D$.
$x_B=\dfrac{x_A+x_D}{2}$ donc $2x_B=x_A+x_D$ d'où $x_D=2x_B-x_A=2\times 2-5=4-5=-1$.\\
$y_B=\dfrac{y_A+y_D}{2}$ donc $2y_B=y_A+y_D$ d'où $y_D=2y_B-y_A=2\times (-6)-8=-12-8=-_20$..\\
$D$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D(-1,-20)}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, $\mathscr{C}$ est le cercle de centre $O$ passant par le point $A(1~;~2)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer le rayon de ce cercle.
Le rayon du cercle est \\
$r=OA=\sqrt{\left(x_A-x_O\right)^2+\left(y_A-y_O\right)^2}\\
=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{r=\sqrt{5}}}$

\item %Le point $B\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$ appartient-il au cercle $\mathscr{C}$ ?
$OB=\sqrt{\left(x_B-x_O\right)^2+\left(y_B-y_O\right)^2}\\
=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{11}}2{}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}}=\sqrt{\dfrac{20}{4}}=\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{OB=\sqrt{5}}}$.\\
$OB$ est égale au rayon du cercle, donc $B$ appartient au cercle $\mathscr{C}$.

\item %Le point $B(2,3~;~0,)$ appartient-il au cercle $\mathscr{C}$ ?
$OC=\sqrt{\left(x_C-x_O\right)^2+\left(y_C-y_O\right)^2}=\sqrt{2,3^2+0,5^2}\\
=\sqrt{5,54}\neq \sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{C\notin\mathscr{C}}}$
\end{enumerate}



\subsection{}
Soient $A(1~;~-2)$, $B(6~;~1)$ et $M(8~;~-8)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $AM$ et $BM$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AM=sqrt{\left(x_M-x_A\right)^2+\left(y_M-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(8-1)^2+(-8-(-2))^2}=\sqrt{7^2+(-6)^2}\\
=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AM=\sqrt{85}}}$

\item $BM=sqrt{\left(x_M-x_B\right)^2+\left(y_M-y_B\right)^2}\\
=\sqrt{(8-6)^2+(-8-1)^2}=\sqrt{2^2+(-9)^2}\\
=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{BM=\sqrt{85}}}$
\end{enumerate}

\item %En déduire que $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
$MA=MB=\sqrt{85}$ donc $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ : $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
\end{enumerate}


\subsection{}
Placer les points A(4~;~1 ) ; B( 0~;~4 ) ; C ( -6~;~ -4 ) 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les longueurs $AB$, $BC$, $AC$ et en déduire que le triangle $ABC$ est rectangle.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(0-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}\\
=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}\\
=\sqrt{(-6-0)^2+(-4-4)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}\\
=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(-6-4)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{(-10)^2+(-5)^2}\\
=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=5$

\item On a : $AC^2=125$\\
$AB^2+BC^2=25+100=125$.\\
Par conséquent : $AC^2=AB^2+BC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème d e Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
\end{enumerate}

\item %Trouver les coordonnées du centre K du cercle circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle.
Puisque $ABC$ est rectangle en $B$, le centre $K$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est le milieu de l'hypoténuse $AC$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-7,-8)(5,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-8)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-7,-8)(5,5)
\pstGeonode[Posangle{0,0,0},CurveType=polygon](4,1){A}(0,4){B}(-6,-4){C}
\pstMiddleAB[PosAngle=-90]{A}{C}{K}
\pstCircleOA{K}{A}
\end{pspicture}

\end{center}
\subsection{}
On considère les points $O=(0~;~0)$, $B=(3~;~1)$~;~ $C=(2~;~2)$ et D$=(1~;~4)$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
\pstGeonode[PosAngle={0,0,0,0},CurveType=polygon,fillstyle=solid,fillcolor=blue!20](0,0){O}(3,1){B}(2,2){C}(1,4){D}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(4,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(4,5)

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $OB=\sqrt{\left(x_B-x_O\right)^2+\left(y_B-y_O\right)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(2-3)^2+(2-1)^2}\\
=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}}}$

\item $CD=\sqrt{\left(x_D-x_C\right)^2+\left(y_D-y_C\right)^2}=\sqrt{(1-2)^2+(4-2)^2}\\
=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{5}}}$

\item $OD=\sqrt{\left(x_D-x_O\right)^2+\left(y_D-y_O\right)^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{17}}}$
\end{enumerate}
%Calculer la valeur exacte du périmètre du polygone $OBCD$.
Le périmètre du polygone $OBCD$ est \\
$OB+BC+CD+OD=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}+\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{17}}}$.

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  