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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices : accompagnement personnalisé sur les vecteurs (séance du 23/04)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On donne les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}0\\-6\end{pmatrix}$.\\
Calculer les coordonnées des vecteurs :

\begin{enumerate}[a)]
\item $3\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\times 2\\3\times (-5)\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{3\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}6\\-15\end{pmatrix}}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{-5\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-5\\-15\end{pmatrix}}}$

\item$\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}0\\-3\end{pmatrix}}}$

\item $2\overrightarrow{u}-7\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}2\times 2-7\times 0\\2\times (-5)-7\times (-6)\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{2\overrightarrow{u}-7\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}4\\32\end{pmatrix}}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-12\\21\end{pmatrix}$.\\
$\begin{cases}-12=-3\times 4\\21=-3\times (-7)\end{cases}$ donc $\overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{u}$ ; ces vecteurs sont colinéaires.\\
On peut aussi calculer le déterminant :\\
$\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=\left|\begin{array}{cc}4&-12\\-7&21\end{array}\right|=4\times 21-(-7)\times (-12)\\
=84-84=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ donc ces vecteurs sont colinéaires.

\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}15\\-7\end{pmatrix}$.\\
$\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=\left|\begin{array}{cc}5&15\\-2&-7\end{array}\right|=5\times (-7)-(-2)\times 15\\
=-35+30=-5\neq 0$.\\
Leur déterminant est non nul : ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les points ts $A(-1~;~1)$, $B(3~;~2)$, $C(-2~;~-3)$, $D(6~;~-1)$ et $E(5~;~0)$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}$.

\item Il est clair que $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
\end{enumerate}

\item %Que peut-on en déduire pour les droites $[AB]$ et $(CD)$ ?
On en déduit que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

\item %Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{EB}$ et $\overrightarrow{ED}$ sont colinéaires.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{EB}\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}$.

\item $\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$.

\item On voit que $\overrightarrow{EB}=-2\overrightarrow{ED}$ donc ces deux vecteurs sont colinéaires.
\end{enumerate}

\item %En déduire que les points $E$, $B$ et $D$ sont alignés.
On en déduit que les droites $(EB)$ et $(ED)$ sont parallèles. Comme elles ont un point commun, elles sont confondues donc les points $E$, $B$ et $D$ sont alignés.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1-2\sqrt{3}\\\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\-3-\sqrt{6}\end{pmatrix}$.\\
%Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires ?
$\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=\left|\begin{array}{cc}1-2\sqrt{3}&\sqrt{3}\\\sqrt{3}+\sqrt{2}&-3-\sqrt{6}\end{array}\right|\\
=\left(1-2\sqrt{3}\right)\left(-3-\sqrt{6}\right)-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\times \sqrt{3}\\
=-3-\sqrt{6}+6\sqrt{3}+2\sqrt{18}-3-\sqrt{6}\\
=-6-2\sqrt{6}+6\sqrt{3}+2\sqrt{18}\\
=-6-2\sqrt{6}+6\sqrt{3}+2\times 3\sqrt{2}\\
=-6-2\sqrt{6}+6\sqrt{3}+6\sqrt{2}\neq 0$.\\
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

\subsection{}
Soient $A(-5~;~-1)$, $B(1,0)$ et $C(19~;~3)$.
\begin{enumerate}[1)]

\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6~;~1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}24\\4\end{pmatrix}$

\item %Calculer $\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)$
$\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)=\begin{vmatrix}6&24\\1&4\end{vmatrix}=6\times 4-1\times 24=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.

\item %Que peut-on déduire sur les points $A$, $B$ et $C$.
$\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)=0$ donc ces deux vecteurs sont colinéaires.\\
Ils ont un point commun donc les trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  