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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : AP : séance du 30/01}}\end{center}


\subsection{}
Pour chaque question, il est demandé d’indiquer la lettre correspondant à l’unique réponse exacte. 

\begin{enumerate}
\item Soient $x$ et $y$ deux réels non nuls. Quelle expression est égale à $\dfrac{x + y}{y}$ ?


\begin{multicols}{5}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{x}{y}+y$

\item $\dfrac{x}{y}+1$

\item $\dfrac{y}{x}+1$

\item $xy+1$

\item $x+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
$\dfrac{x + y}{y}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{y}=\dfrac{x}{y}+1$ (réponse (b)).

\item Soient a et b deux réels non nuls. Quelle est l’expression égale à $\dfrac{-5a^2b^2}{15b^3a^2}$ ?
\begin{multicols}{5}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}

\item $\dfrac{1}{3b}$

\item $\dfrac{a}{3b}$

\item $-\dfrac{b}{3}$

\item $-\dfrac{1}{3b}$

\item $-\dfrac{3}{b}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

$\dfrac{-5a^2b^2}{15b^3a^2}=\dfrac{-\cancel{5}\cancel{a^2}\times \cancel{b^2}}{3\times \cancel{5}\times \cancel{b^2}\times b\times \cancel{a^2}}=-\dfrac{1}{3b}$ (fréponse (D)).

\item Soient $a$, $b$, $x$ et $y$ quatre réels strictement positifs. Quel est le quotient égal à la somme de $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{x}{y}$ ?

\begin{multicols}{5}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{ax}{by}$

\item $\dfrac{a+x}{b+y}$

\item $\dfrac{ay+bx}{by}$

\item $\dfrac{a+y}{b+x}$

\item $\dfrac{by}{ay+bx}$
\end{enumerate}

\end{multicols}
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{ay+bx}{by} $ (réponse (c))

\item Soient a et b deux réels non nuls. Quelle est la moitié de $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ ?



\begin{multicols}{5}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{a+b}{2}$

\item $\dfrac{1}{a+b}$

\item $\dfrac{2}{a+b}$

\item $\dfrac{a+b}{2ab}$

\item $\dfrac{2(a+b)}{ab}$
\end{enumerate}

\end{multicols}

La moitié de $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ est $\dfrac{\frac1a+\frac1b}{2}=\dfrac{\frac{a+b}{ab}}{2}=\dfrac{a+b}{ab}\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a+b}{2ab}}}$ (réponse (d))

\item Soient $a$ et $b$ deux réels. Quelle est l’expression égale à la différence $(a + b)^2 - (a - b)^2$ ?

\begin{multicols}{5}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item $2a^2+2b^2$

\item $4ab$

\item $2ab$

\item 0

\item $a^2+b^2$

\end{enumerate}

\end{multicols}

$(a + b)^2 - (a - b)^2=\left[a^2+2ab+b^2\right]-\left[a^2-2ab+b^2\right]=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=\boxed{\textcolor{red}{4ab}}$ (réponse (b))
\end{enumerate}




\subsection{}

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\begin{enumerate}
\item $t+u=5$ si, et seulement si, $t=2$ et $u=3$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} !\\
Si $t=2$ et $u=3$, $t+u=5$ mais \textbf{\textcolor{red}{la réciproque est fausse}} ; par exemple si $t=1$ et $u=4$, $t+u=5$.\\
En fait : $t+u=5$ équivaut à $u=5-t$ donc tous les couples de la forme $(t~;~u=5-t)$, $t\in\mathbb{R}$ conviennent.

\item L’égalité $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ est toujours vraie.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} !\\
Par exemple : si $a=3$ et $b=4$, $(a+b)^2=(3+4)^2=7^2=49$ mais $a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25$\\
En fait : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ donc, pour que $(a+b)^2=a^2+b^2$, il faut que $2ab=0$ donc il faut avoir $a=0$ ou $b=0$.

\item Il existe des réels $a$ et $b$ tels que $(a+b)^2 = a^2 +b^2$.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} ! (Voir remarque ci-dessus) ; par exemple $a=3$ et $b=0$.

\item L’équation $x^2 = -4$ n’admet pas de solution.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} !\\
En effet : $x^2\geqslant 0$ et $-4<0$ donc il ne peut pas y avoir égalité.

\item $y^2 = 2y$ si, et seulement si, $y = 2$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} !\\
$y^2=2y$ donne $y^2-2y=0$ qui s'écrit, après factorisation : $\boxed{\textcolor{red}{y(y-2)=0}}$.\\
On voit que $y=0$ est aussi une solution de cette équation.

\item $z^2 =16$ si,et seulement si , $z=4$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} !\\
$z^2=16$ s'écrit $z^2-16=0$ donc $z^2-4^2=0$ qui donne $(z-4)(z+4)$=0.\\
On voit qu'il y a deux solutions : -4 et 4.

\item Pour tout réel $b$, je peux calculer $\dfrac{b^2+1}{b-4}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} !\\
On ne peut pas diviser par 0, donc il faut que $\boxed{\textcolor{red}{b\neq 4}}$.

\item Il existe un réel dont l’inverse est égal à l’opposé.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} !\\
On cherche $x\neq 0$ tel que $\dfrac{1}{x}=-x$ qui donne $1=-x^2$.\\
$1>0$ et $-x^2<0$ donc il ne peut pas y avoir égalité.

\end{enumerate}


\subsection{}


\begin{enumerate}[a)]
\item Trouver deux réels solutions de l’équation $x^2 - 3x = 0$.\\
On factorise : on doit a voir $x(x-3)=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x=0}}$ ou $\boxed{\textcolor{red}{x=3}}$.

\item Développer et réduire l’expression $(a - 1)(a + 1)\left(a^2 + 1\right)$.\\
$(a - 1)(a + 1)\left(a^2 + 1\right)=\left[(a - 1)(a + 1)\right]\left(a^2 + 1\right)=\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=\left(a^2\right)^2-1^2=\boxed{\textcolor{red}{a^4-1}}$

\item Calculer et simplifier $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{7}\times \dfrac{3}{5}\times \dfrac{7}{11}$\\
$\dfrac{2}{\cancel{3}}\times \dfrac{\cancel{5}}{\cancel{7}}\times \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{5}}\times \dfrac{\cancel{7}}{11}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{11}}}$

\item Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f : x\mapsto \sqrt{3-x}$ ?\\
On ne peut calculer la racine carrée que d'un nombre positif, donc on doit avoir $x-3\geqslant 0$ donc $x\geqslant 3$ :\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=[3~;~+\infty[}}$.

\item De quel(s) réel(s) ne peut-on pas calculer l’image par $g  : x\mapsto \dfrac{x^2 + 1}{2x-3}$ ?\\
Il faut que $2x-3\neq0$ ; or, $2x-3=0$ donne $x=\dfrac{3}{2}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}}}$.

\item Sachant que la courbe représentative de $f : x\mapsto x^2 +dx+3$ passe par le point M(1~;~6), quelle est la valeur de la constante $d$ ?\\
On doit avoir $f(1)=6$ donc $1^2+d\times 1+3=6$ donc $4+d=6$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{d=2}}$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  