\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de AP \no 14 (valeurs absolues)}}\end{center}




\subsection{}
On note $d(x~;~y)$ la distance, sur une droite graduée, entre les points d’abscisse respectives $x$ et $y$.\\
On remarque qu’on a immédiatement la formule , pour tous nombres $x$ et $y$ : $d(x~;~y) = d(y~;~x)$.\\
On remarque aussi que $d(x~;~y)=\left\vert x-y \right\vert$.

\bigskip
Calculer les distances indiquées ci-dessous :

\begin{enumerate}[a)]
\item $d(5~;~2) =\left\vert 5-2 \right\vert=\left\vert 3 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{3}}$

\item $d(1~;~7) =\left\vert 7-1 \right\vert=\left\vert 6 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{6}}$

\item $d(0~;~5) =\left\vert 5-0 \right\vert=\left\vert 5 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{5}}$

\item $d(-2,5~;~0) =\left\vert 0-(-2,5) \right\vert=\left\vert 2,5 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{2,5}}$

\item $d(-1~;~5) =\left\vert 5-(-1) \right\vert=\left\vert 6 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{6}}$

\item $d(-3~;~-4) ==\left\vert -4-(-3) \right\vert=\left\vert -4+3 \right\vert=\left\vert -1 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $d(-1~;~-5) =\left\vert -5-(-1) \right\vert=\left\vert -5+1 \right\vert=\left\vert -4 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $d(4~;~-2) ==\left\vert -2-4 \right\vert=\left\vert -6 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{6}}$

\item $d(-2,5~;~-1,5) =\left\vert -1,5-(-2,5) \right\vert=\left\vert -1,5+2,5 \right\vert=\left\vert 1 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\end{enumerate}
%On pourra utiliser de la droite graduée ci-dessous :
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.6,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-6,-1)(8,1)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,yAxis=false]{->}(0,0)(-6,01)(8,0)
%%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-1)(8,1)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\subsection{}
Simplifier leds écritures suivantes (sans valeurs absolues) :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\vert 2 - 3 \right\vert=\left\vert -1 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $\left\vert 5 + 3 \right\vert=\left\vert 8 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{8}}$

\item $\left\vert 2\times (4 - 5) \right\vert=2\times (-1)=\left\vert -2 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{2}}$

\item $\left\vert 4 \times 2 - 5 \times 7 \right\vert=\left\vert 8-35 \right\vert=\left\vert -27 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{27}}$ (rappel : la multiplication est prioritaire par rapport à l'addition ou la soustraction)

\item $\left\vert 7 + 2 \times 4 - 6 \right\vert=\left\vert 7+8-6 \right\vert=\left\vert 9 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{9}}$

\item $\left\vert 2 - 3 \times 2 \right\vert=\left\vert 2-6 \right\vert=\left\vert -4 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $\left\vert 5,5 \right\vert+ \left\vert - 4,5 \right\vert=5,5+4,5=\boxed{\textcolor{red}{10}}$

\item $\left\vert -5,5 \right\vert-\left\vert 4,5 \right\vert=5,5)-4,5=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $\left\vert 2 \times 3 - 7 \right\vert=\left\vert 6-7 \right\vert=\left\vert -1 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $\left\vert \sqrt{2}-\sqrt{3} \right\vert=-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=-\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ car $\sqrt{2}-\sqrt{3}<0$\\
En effet : $2<3$ donc $\sqrt{2}<\sqrt{3}$.

\item $\left\vert 3-\pi \right\vert=-(3-\pi)=\pi-3$ car $3-\pi<0$.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}

\item %Quels sont les points qui sont à une distance de 5 du nombre 3 ?
Les nombres qui sont à une distance 5 de 3 dont 3-5=-2 et 3+5=8 : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-2~;~8\}}}$

\item %Résoudre l’équation : $\left\vert x - 3 \right\vert= 5$
Soit l’équation : $\left\vert x - 3 \right\vert= 5$.\\
Cela équivaut à dire que la distance entre 3 et $x$ est 5.\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.6,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(10,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,yAxis=false]{->}(0,0)(-4,0)(9,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{<->}(-2,0.2)(3,0.2)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt]{<->}(8,0.2)(3,0.2)
\uput[u](0.5,0){5}
\uput[u](5.5,0){5}
\end{pspicture}
\end{center}
Les solutions sont $3-5=-2$ et $3+5=8$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-2~;~8\}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\vert x \right\vert = 3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~3\}}}$

\item  $\left\vert x - 2 \right\vert = 3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1~;~5\}}}$

\item $\left\vert x - 4 \right\vert = 7$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~11\}}}$

\item $\left\vert x + 2  \right\vert= 3$ équivaut à $\left\vert x-(-2) \right\vert=3$ donc $x=-2-3=-5$ ou $x=-2+3=1$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5~;~1\}}}$

\item $\left\vert x - 4 \right\vert = 0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{4\}}}$

\item $\left\vert x - 2 \right\vert = -1$ ; il n'y a pas de solution ; $\mathscr{S}=\emptyset$ car -1 est négatif et une distance ne peut pas être négative.

\end{enumerate}


\subsection{}
Résoudre graphiqmene t les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\vert x-3 \right\vert\leqslant 2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[1~;~5}}]$

\item $\left\vert x-7 \right\vert<3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]4~;~10[}}$ (on a une inégalité stricte donc les crochets sont ouverts)

\item $\left\vert x-3 \right\vert\geqslant 5$.\\
On veut que la distance entre 3 et $x$ soit supérieure ou égale à 5.\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.6,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-8,0)(12,-1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,yAxis=false]{->}(0,0)(-8,0)(12,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{<->}(-2,0.2)(3,0.2)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt]{<->}(8,0.2)(3,0.2)
\uput[u](0.5,0){5}
\uput[u](5.5,0){5}
\uput[u](-6,0){Solutions}
\uput[u](10,0){Solutions}
\end{pspicture}
\end{center}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-2] \cup [8~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  