\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de la séance 1 du 14 septembre 2024}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On rappelle que si l'on a, avec quatre nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ non nuls : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, alors $ad=bc$\\
Montrer alors que :
\begin{enumerate}[a)]
\item %$\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$ (on dit qu'on peut échanger les extrêmes)
On a : $ad=bc$.\\
On divise des deux côtés par $b$ : on obtient $\dfrac{ad}{b}=c$.\\
On divise alors par $a$ : il vient $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}}}$

\item %$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$ (on dit qu'on peut échanger les moyens)
On a : $ad=bc$.\\
On divise par $cd$ : $\dfrac{ad}{cd}=\dfrac{bc}{cd}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Si $d$ est la distance parcourue pendant une durée $t$, la vitesse $v$ vaut $v=\dfrac{d}{t}$.
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $d$ en fonction de $v$ et $t$.
On a $\boxed{\textcolor{red}{d=vt}}$

\item %Exprimer $t$ en fonction de $v$ et $d$.
$\boxed{\textcolor{red}{t=\dfrac{d}{v}}}$
\end{enumerate}

\item En physique, la puissance électrique échangée par un dipôle, l'intensité qui le traverse et la tension à ses bornes sont liées par la relation : \\
$P =U\times I$, où P = puissance en watt (W), U = tension en volt (V), I = intensité en ampère (A).
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $U$ en fonction de $P$ et $I$.
$U=\dfrac{P}{I}$

\item %
%Exprimer $I$ en fonction de $U$ et $I$.
$\boxed{\textcolor{red}{I=\dfrac{U}{P}}}$
\end{enumerate}

\item La volume $V$ d'une boule de rayon $r$ est donné par $r=\dfrac{4}{3}\pi r^3$.\\
%Exprimer $r^3$ en fonction de $V$.
On a : $3v=4\pi r^3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{r^3=\dfrac{v}{4\pi}}}$

\item Le volume $v$ d'un cône de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ est donné par : $v=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$.
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $h$ en fon ction de $r$ et $v$.
$3v=\pi r^2h$ donc $\boxed{\textcolor{red}{h=\dfrac{3v}{\pi r^2}}}$

\item %Exprimer $r^2$ en fonction de $v$ et $h$.
$3v=\pi r^2h$ donc $r^2=\dfrac{3v}{\pi r^2}$.\\


\item %En déduire l'expression de $r$ en fonction de $v$ et $h$.
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{r=\sqrt{\dfrac{3v}{\pi r^2}}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{(Somme et produit de fractions)}}
%\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} : 
%\begin{enumerate}[a)]
%\item $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{9}=\dfrac{2\times 3}{3\times 3}+\dfrac{5}{9}=\dfrac{6}{9}+\dfrac{5}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{11}{9}}}$
%
%\item $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{9}=\dfrac{2\times 5}{3\times 9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{10}{27}}}$
%
%\item $\dfrac{3}{5}+\dfrac{7}{8}=\dfrac{3\times 8}{5\times 8}+\dfrac{7\times 5}{8\times 5}=\dfrac{24}{40}+\dfrac{35}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{59}{40}}}$
%\end{enumerate}
%En t'aidant des exemples ci-dessus, calcule :
\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\dfrac{5}{3}+\dfrac{7}{18}=\dfrac{30}{18}+\dfrac{7}{18}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{37}{18}}}$

\item $\dfrac{5}{4}-\dfrac{41}{12}=\dfrac{15}{12}-\dfrac{41}{12}=-\dfrac{26}{12}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{13}{6}}}$

\item $\dfrac{8}{3}\times \dfrac{7}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{56}{27}}}$

\item $\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{8}=\dfrac{20}{24}+\dfrac{21}{24}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{41}{24}}}$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Simplifications de fractions}}
%\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : $\dfrac{15}{36}=\dfrac{\cancel{3}\times 5}{\cancel{3}\times 12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{12}}}$.\\
%Simplifier les fractions suivantes :

\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\dfrac{70}{18}=\dfrac{\cancel{2}\times 35}{\cancel{2}\times 9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{35}{9}}}$

\item $\dfrac{42}{39}=\dfrac{\cancel{3}\times 14}{\cancel{3}\times 13}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{14}{13}}}$

\item $\dfrac{56}{72}=\dfrac{\cancel{8}\times 7}{\cancel{8}\times 9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{9}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer : 
\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\dfrac{2}{9}+\dfrac{5}{9}\times  \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}+\dfrac{10}{27}=\dfrac{6}{27}+\dfrac{10}{27}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{16}{27}}}$

\item $\left(\dfrac{8}{5}-\dfrac{4}{3}\right)\times \dfrac{2}{3}=\left(\dfrac{24-20}{15}\right)\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{15}\times \dfrac{2}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{8}{45}}}$

\item $\dfrac{5}{11}+\dfrac{5}{11}\times \dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{11}+\dfrac{25}{22}=\dfrac{10}{22}+\dfrac{25}{22}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{35}{22}}}$
\end{enumerate}



\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  