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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : TD \no 14 (valeur absolue et fonction carré)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On rappelle que la distance de $a$ à $x$ est $\left\vert x-a \right\vert$.\\
Résoudre l'équation $\left\vert x-3 \right\vert=\left\vert x-7 \right\vert$.\\
On pourra s'aider du graphique :
\begin{center}
\psset{xunit=0.7,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,yAxis=false]{->}(0,0)(-1,-1)(9,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
Soit $f : x\mapsto x^2$ la fonction carré, donc $f(x)=x^2$.\\
Calculer : 

\begin{enumerate}[1)]
\item $f(2)$

\item $f(-5)$

\item $f\left(\sqrt{2}\right)$

\item $f(-1)$

\item $f(0)$

\item $f\left(-\sqrt{3}\right)$
\end{enumerate}

\subsection{}
$f$ est toujours la fonction carré.

\begin{enumerate}[1)]
\item Quels sont les antécédents, s'ils existent, de 49 ?

\item Quels sont les antécédents, s'ils existent, de 3 ?

\item Quels sont les antécédents, s'ils existent, de -5  ?

\item Quels sont les antécédents, s'ils existent, de 0 ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Logique }}
$f$ est la fonction carré.\\
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
\begin{enumerate}[1)]
\item Tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.

\item Il existe un nombre réel qui n’a pas d’antécédent par $f$.

\item Tous les nombres réels ont, au plus, un antécédent par $f$.

\item Il existe au moins un nombre réel qui a deux antécédents par $f$
\end{enumerate}

\subsection{}
\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : $f$, définie sur son ensemble de définition $\mathscr{D}$ est une fonction paire si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(-x)=f(x)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $f$ la  fonction définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4$. Montrer que $f$ est paire.

\item Soit $f$ la  fonction définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par \[f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}\].

\begin{enumerate}[1)]
\item Pour $x$ quelconque, calculer $f(-x)$.

\item Comparer $f(-x)$ et $f(x)$.

\item $f$ est-elle paire ?
\end{enumerate}


\item Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-x$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Calculer $f(-1)$ et $f(1)$.

\item $f$ est-elle paire ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}
$f$ est la fonction carré. Compléter le tableau de variation ci-dessous ;
\begin{enumerate}[1)]
\item \phantom{}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\phantom{\d}&&\phantom{\c}&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Sachant que $0<2,24<2,25$ et que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$, comparer $2,24^2$ et $2,25^2$ sans les calculer.

\item Comparer avec une méthode analogue \\
$(-3,134)^2$ et $(-3,136)^2$.

\item Comparer $3^2$ et $\pi^2$ (en justifiant).

\item On veut comparer $(-3,223)^2$ et $3,32^2$.\\
L'un des nombres est négatif et l'autre positif ; $f$ n'est pas monotone (change de sens de variaton) sur $\mathbb{R}$, donc on ne peut pas utiliser les méthodes vues ci-dessus.\\

\begin{enumerate}[1)]
\item $f$ est paire donc $(-3,223)^2=f(-3,223)=f(\cdots)$ (compléter \dots)

\item Comparer 3,223 et 3,32 puis $3,223^2$ et $3,32^2$.

\item Conclure.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}