\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint,xlop}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,colortbl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Différents ensembles de nombres et intervalles}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Ensemble $\mathbb{N}$ des nombres entiers naturels}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle nombre entier \textbf{naturel} un nombre entier positif ou nul ; les entiers naturels sont les nombres servant à compter les objets (0 n'a été considéré comme nombre que tardivement).\\
L'ensemble des entiers naturels se note $\mathbb{N}$.\\
$\mathbb{N}=\{0~;~1~;~2~;~3\cdots\}$

\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : le symbole 0 a été utilisé par les Babyloniens (il y a plus de 2000 ans, les Mayas, les Indiens ; il signifiait l'absence d'unité dans la numération de position (celle que nous utilisons) pour indiquer l'absence d'une unité  ; dans l'utilisations des chiffres romains (notation de juxtaposition), le symbole 0 n'existe pas. 0 est apparu en Occident grâce aux arabes, notamment par la traduction de textes arabes par le mathématicien Al-Kwarismi.\\
Pour les curieux : cliquer ici : \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Zéro}{Histoire du nombre zéro}.


\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Ensemble $\mathbb{Z}$ des nombres entiers relatifs} }


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un entier relatif est un nombre entier positif ou négatif ou nul.\\
L'ensemble des entiers relatifs se note $\mathbb{Z}$.\\
C'est l'ensemble des entiers naturels auquel on adjoint leur opposés.\\
$\mathbb{Z}=\{\cdots~;~-3~;~-2~;~-1~;~0~;~1~;~2~;~3\cdots\}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $Z$ est l'initiale du mot allemand Zahl qui veut dire nombre.
\end{bclogo}

\bigskip

Tous les entiers relatifs sont naturels ; l'ensemble des entiers naturels est \textbf{inclus} dans celui des entiers relatifs ; on écrit $\boxed{\textcolor{red}{\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques de notation}}.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 6 est un nombre naturel. on écrit $\boxed{\textcolor{red}{6\in\mathbb{N}}}$. (On lit \og{}6 appartient à $\mathbb{N}$\fg{})

\item 6 est aussi un entier relatif ; on écrit $\boxed{\textcolor{red}{6\in\mathbb{Z}}}$. (\og{}6 appartient à $\mathbb{Z}$\fg{})

\item -3 est un entier relatif : on écrit $\boxed{\textcolor{red}{-3\in\mathbb{Z}}}$ mais $-3\notin \mathbb{N}$ (-3 n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels).

\item 7,2 n'est pas un entier naturel : on écrit $\boxed{\textcolor{red}{7,2\notin\mathbb{N}}}$.
\end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Schématiquement}} : 
\begin{center}
\psset{unit=0.5,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-6)(8.,5.)
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=1pt](0,0)(3.0132502082204593,2.253813838217488)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=1pt](0,0)(4.8806620965708625,4.4520627242777575)}
\rput[tl](3.16,1.24){$\mathbb{N}$}
\rput[tl](4.68,3.18){$\mathbb{Z}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip
\danger : Ne pas confondre les symboles $\in$ et $\subset$.\\
Un ensemble est inclus dans un ensemble qui le contient ; un ensemble est constitué d'éléments ; chaque élément de cet ensemble appartient à cet ensemble.\\
$A\subset B$ signifie que tous les éléments de $A$ appartiennent à $B$, mais il peut y avoir des éléments de $B$ qui ne sont pas dans $A$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : Si $A\subset B$ et $B\subset A$ équivaut à dire que $A=B$ (ce sont les mêmes ensembles)

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} : 

\begin{enumerate}
\item une classe de seconde notée A est constituée de deux sous-ensembles, l'ensemble des garçons de la classe, noté $G$ et l'ensemble des filles, noté $F$. Hugo (noté $H$ est un garçon de la classe)\\
On a $G\subset A$, $F\subset A$, $H\in G$, $H\in A$, $H\notin F$.

\item Notons $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres entiers naturels pairs.\\
On écrit : $2\in\mathbb{P}$ (se lit \og{}2 appartient à $\mathbb{P}$\fg{}) et $\mathbb{P}\subset\mathbb{N}$ (se lit \og{}$\mathbb{P}$ est inclus dans $\mathbb{N}$\fg{})
\end{enumerate}






\subsection{\textcolor{red}{Ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un nombre $x$ est décimal s'il peut d'écrire comme le quotient d'un nombre entier par une puissance de 10 ; $x=\dfrac{a}{10^k}$.\\
Il peut s'écrire sous forme décimale avec un nombre \textbf{\textcolor{red}{fini}} de chiffres.\\
L'ensemble des nombres décimaux est noté $\mathbb{D}$.\\
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $7,121=\dfrac{\numprint{7121}}{\numprint{1000}}=\dfrac{\numprint{7121}}{10^3}$ donc $7,121$ est un nombre décimal.

\item $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.\\
\textbf{Justification} : si $\dfrac{1}{3}$ était décimal, il existait $k$ tel que $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^k}$ donc $3a=10^k$ ce qui est impossible car 3 ne divise jamais $10^k$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Autre justification}} : $\dfrac{1}{3}=0,3333\cdots$ avec une infinité de 3 après la virgule (et il n'y a pas d'autre écriture possible), donc $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.
\end{enumerate}

\bigskip
\danger : Ce n'est pas parce que l'écriture d'un nombre contient une infinité de décimales que celui-ci n'est pas décimal.\\
Exemple : le nombre $\numprint{0,999999}\cdots$ est égal à 1, car $\numprint{0,333333}\cdots=\dfrac{1}{3}$ donc $\numprint{0,999999}\cdots=3\times \dfrac{1}{3}=1$

\subsection{\textcolor{red}{Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$a$ est un nombre rationnel s'il peut d'écrire sous la forme $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs, $q$ non nul.\\
L'ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$. (Q pour quotients)
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\dfrac{2}{3}$ est rationnel

\item $2,33=\dfrac{233}{100}$ donc 2,33 est rationnel.

\item $\sqrt{2}$ ou $\pi$ ne sont pas des nombres rationnels.\\
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
Tout nombre rationnel $r$ a une forme irréductible \textbf{unique}, c'est-à-dire qu'il existe un unique entier relatif $a$ et un unique entier naturel $b$ tel que $r=\dfrac{a}{b}$ et tels que le seul diviseur commun à $a$ et $b$ soit 1 (on dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux).
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels}}
Nous avons vu qu'il existait des nombres qui n'étaient pas rationnels.\\
L'irrationnalité de $\sqrt{2}$ démontrée par les Pythagoriciens ont entraîné la première crise de l'histoire des mathématiques (voir par exemple \href{https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/les-mathematiciens/175-pythagore-de-samos}{ici}).
D'après le théorème de Pythagore, la diagonale d'un carré de côté 1 vaut $\sqrt{2}$ ; pour les grecs, tout dans la nature est \textbf{mesurable}, mais les grecs ne conçoivent que les nombres entiers et les nombres rationnels (comme notion de partage). Or, ils ont montré que $\sqrt{2}$ n'était pas rationnel, donc ont trouvé une longueur non mesurable avec les nombres qu'ils connaissaient\dots\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : ils n'ont pas su régler le problème !\\
\textbf{\textcolor{blue}{Anecdote}} : Hippase de Métaponte, aurait été noyé en mer pour avoir divulgué l'irrationnalité de $\sqrt{2}$.
\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère une droite, munie d'un repère $(O~;~I)$.

\bigskip
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)(0.25,0)(0.66667,0)(1.414,0)(-1.4,0)
\uput[u](0,0){O}\uput[u](1,0){I}\uput[u](3,0){$M$}
\uput[d](0.25,0){0.25}
\uput[d](0.66667,0){$\dfrac{2}{3}$}
\uput[d](1.414,0){$\sqrt{2}$}
\uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}
\uput[d](-1.4,0){$x_{M}$}
\uput[u](-1.4,0){abscisse de $M$}
\end{pspicture}

\bigskip

\noindent L'ensemble des nombres réels est l'ensemble des abscisses des points de cette droite, appelée droite numérique (ou droite des réels).\\
À chaque point correspond un nombre unique (son abscisse) et à chaque nombre correspond un point unique.\\
L'ensemble des nombres réels est noté $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Tous les nombres que vous connaissez sont des nombres réels.

\item $\pi$, $\sqrt{2}$ sont des nombres réels, mais ils ne sont pas rationnels
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Résumé sur les différents ensembles de nombres :}}\\
Nous avons les inclusions (strictes) suivantes :

\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}}}$
\end{center}


\textbf{\textcolor{red}{Schématiquement}} :

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8.,-8.)(12.,8.)
\multips(0,-8)(0,2.0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.,0)(17.,0)}
\multips(-3,0)(2.0,0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-8.)(0,8.)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=yellow!50,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(8.254735482919891,8.008786293376586)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=blue!60,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(6.394389836241333,6.073567434204256)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=cyan!60,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(5.075935434004827,4.665310335892541)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(3.65326652828704,3.057181107932999)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=white!20,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(2.5487066530417866,1.5798435375882847)}
\rput[tl](2.4732533333333335,1.082213333333336){$\mathbb{N}$}
\rput[tl](4.03496,2.1140552380952395){$\mathbb{Z}$}
\rput[tl](5.262015238095239,3.1737847619047623){$\mathbb{D}$}
\rput[tl](6.433295238095241,4.038300952380951){$\mathbb{Q}$}
\rput[tl](7.409361904761908,5.51634476190476){$\mathbb{R}$}
\rput[tl](1.0509847619047612,0.7475619047619076){2}
\rput[tl](2.4453657142857144,-0.20061714285713902){5}
\rput[tl](-0.65016,1.7236285714285733){-3}
\rput[tl](2.696354285714286,-1.9296495238095182){-31}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt](0,0)(3.65326652828704,3.057181107932999)}
\rput[tl](1.38563619047619,4.177739047619047){2,335}
\rput[tl](1.9991638095238093,5.9){$1\slash 3$}
\rput[tl](-0.9011485714285733,7.133826666666663){$\sqrt{2}$}
\rput[tl](3.979184761904763,7.133826666666663){$\pi$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Rappels sur les inégalités}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Rappel : }}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

 $<$ signifie \og{}est strictement inférieur à\fg{}

\bigskip

\noindent  $\leqslant $ signifie \og{}est  inférieur \textbf{ou égal} à\fg{}

\noindent  $>$ signifie \og{}est strictement supérieur à\fg{}

\bigskip

\noindent  $\geqslant $ signifie \og{}est  supérieur \textbf{ou égal} à\fg{}

\end{multicols}

\end{bclogo}
\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2<7$ est vrai

\item $7<7$ est faux

\item $2\leqslant 7$ est vrai

\item $7\leqslant 7$ est vrai

\item $5\geqslant 5$ est vrai car $5=5$

\item $7>2$ est vrai
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{red}{Intervalles finis de $\mathbb{R}$}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalles fermés}}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.
 
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x\leq b $ est un intervalle, noté $[a~;~b]$. $a$ et $b$ sont les bornes de cet intervalle.
\end{bclogo}

\bigskip

On le représente en rouge sur la droite réelle de la façon suivante : 

\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(3.8,0.5)(4,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(3.8,-0.5)(4,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\end{pspicture}\\\\
Cet ensemble est un intervalle de $\mathbb{R}$. $a$ et $b$ sont ses bornes. Cet intervalle contient ses bornes. On dit qu'il est fermé.\\


\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalles semi-ouverts}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.
 
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x\leq b $ est un intervalle, noté $]a~;~b]$. $a$ et $b$ sont les bornes.

\bigskip

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant  x< b $ est un intervalle, noté $[a~;~b[$. $a$ et $b$ sont les bornes.
\end{bclogo}

\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(3.8,0.5)(4,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(3.8,-0.5)(4,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\end{pspicture}

\bigskip
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4,-0.5)\psline(4,0.5)(4.2,0.5)
\end{pspicture}

%
%\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalles ouverts}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.
 
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x< b $ est un intervalle, noté $]a~;~b[$. $a$ et $b$ sont les bornes.
\end{bclogo}

\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4,-0.5)\psline(4,0.5)(4.2,0.5)
\end{pspicture}


\subsection{\textcolor{red}{Intervalles infinis de $\mathbb{R}$}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalle illimité à droite}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a<  x$ est un intervalle, noté $]a~;~+\infty[$.

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant   x$ est un intervalle, noté $[a~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
%\psline(4.2,0.5)(4.2,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(10,0)
\end{pspicture}\

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Le symbole $\infty$ , qui se lit \og{} infini \fg{} a été inventé par le mathématicien John Wallis (1616-1703). \textbf{Ce n'est pas un nombre réel}.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalles illimités à droite}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a<  x$ est un intervalle, noté $]a~;~+\infty[$.

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant   x$ est un intervalle, noté $[a~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\begin{pspicture}(-6,-1)(11,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
%\psline(4.2,0.5)(4.2,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(10,0)
\end{pspicture}\



\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $x< a$ est un intervalle, noté $]-\infty~;~a[$.

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $x\leqslant  a$ est un intervalle, noté $[-\infty~;~+a]$.
\end{bclogo}

\begin{pspicture}(-11,-1)(6,1)
\psline(-10,0)(6,0)
\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4,-0.5)(4.2,-0.5)\psline(4,0.5)(4.2,0.5)
\uput[dl](4,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-10,0)(4,0)
%\uput[u](-2,0){$]-\infty~;~a[$}
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le crochet est fermé, tourné vers l'intérieur, si l'on garde le nombre et ouvert, vers l'extérieur, si l'on rejette le nombre.

\item  $\infty$ n'est pas un nombre réel, donc le crochet du côté de l'infini est \textbf{\textcolor{red}{toujours}} tourné vers l'extérieur.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Réunion et intersection de deux intervalles}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $I$et $J$ deux intervalles.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$ est appelé l'intersection de $I$ et $J$. Cet ensemble est noté $I\cap J$.
\item L'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ ou à $J$ est appelé la réunion de $I$ et $J$. Cet ensemble est noté $I\cup J$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\

$[4~;~5]\cap [2~;~3]=\emptyset$\\

$[2~;~5]\cap [2~;~3]=[2~;~3]$\\

$[4~;~7]\cap[6~;~8]=[6~;~7 ]$\\

$[4~;~7]\cup[6~;~8]=[4~;~8 ]$

\subsection{\textcolor{red}{Liens vers des videos}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Résumé du cours sur les intervalles : cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=mvJy4LVCmRI}{ici}

\item Intersection : cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=8WJG_QHQs1Y}{ici}

\item Réunion : cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=hzINDVy0dgg}{ici}

\end{enumerate}











\label{fin}
\end{document}  