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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 24 (évolutions successives et réciproques)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Une valeur subit une hausse de 6\:\% puis une hausse de 14\:\%.\\
%Quel est le taux dévolution globale ?
Les coefficients multiplicateurs associés à ces évolutions sont :\\
$C_1=1+6\:\%=1,06$  et $C_2=1+14\:\%=1,14$.\\
Le coefficient multiplicateur global est : \\
$C=C_1C_2=1,06\times 1,14=\boxed{\textcolor{red}{1,2084}}$.\\
Le taux d'évolution globale est : $T=C-1=\numprint{0,2084}=\dfrac{20,84}{100}=20,84\:\%$ ; $\boxed{\textcolor{red}{T=20,84\:\%}}$.

\subsection{}
Déterminer le taux d'évolution global d'une valeur suite à une augmentation de 50\:\% puis à une diminution de 50\:\%.
Les coefficients multiplicateurs associés à ces évolutions sont :\\
$C_1=1+50\:\%=1,5$  et $C_2=1+(-50\:\%)=0,5$.\\
Le coefficient multiplicateur global est : \\
$C=C_1\times C_2=1,5\times 0,5=\boxed{\textcolor{red}{0,75}}$.\\
Le taux d'évolution globale est : \\
$T=C-1=0,75-1=-0,25=-\dfrac{25}{100}=-25\:\%$ ; \\
$\boxed{\textcolor{red}{T=-25\:\%}}$.

\subsection{}
%Déterminer le taux d'évolution réciproque d'une augmentation de 60\:\%.
Déterminons le taux d'évolution réciproque d'une augmentation de 60\:\%.\\
Si $t$ est un taux d'évolution, le taux d'évolution réciproque est $t'$ avec $t'=\dfrac{1}{1+t}-1$.\\
$t'=\dfrac{1}{1+60\:\%}-1=\dfrac{1}{1,6}-1=-0,375=-37,5\:\%$ ; $\boxed{\textcolor{red}{t'=-37,5\:\%}}$

\columnbreak

\subsection{}
Lors de l'achat d'une voiture, le vendeur propose une remise de 10\:\% sur le prix H.T. (hors-taxes) puis d'appliquer la T.V.A. de 20\:\%.\\
Le client préférerait que le vendeur lui applique la remise de 10\:\% sur le prix T.T.C.\\
%La proposition du client lui est-elle plus avantageuse ?
Notons $x$ le prix de la voiture H.T.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Premier cas :}}\\
Le prix final est $x\times \left(1-10\:\%\right)\times \left(1+20\:\%\right)\\
=x\times 0,9\times 1,2=\boxed{\textcolor{red}{1,08x}}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième cas :}}\\
Le prix de la voiture est :\\
$x\times 1,2\times 0,9=\boxed{\textcolor{red}{1,08x}}$.
\end{enumerate}
On obtient le \textbf{\textcolor{red}{même prix}}.

\subsection{}
En 2015, il y a eu \numprint{17268} immatriculations de voitures électriques. Ce nombre a augmenté de 44,26\:\% en 2 ans dont 25,96\:\% la première année (source : Fiches-auto.fr).\\
%Déterminer le taux d'évolution du nombre d'immatriculations de voitures électriques de 2016 à 2017. Arrondir à 0,01\:\% près.
Notons $t$ le taux d'évolution de 2016 à 2017.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les coefficients multiplicateurs associés aux deux évolutions successives sont :\\
$C_1=1+25,96\:\%=\numprint{1,2596}$ et $C_2=1+T_2$.

\item le coefficient multiplicateur global est : \\
$C=1+44,26\:\%=\numprint{1,4426}$.

\item $C=C_1\times C_2$ donc $C_2=\dfrac{C}{C_1}=\dfrac{1,4426}{1,2596}=\numprint{1,14528422}$.\\
$T_2=C_2-1=0,14528422\approx \boxed{\textcolor{red}{14,53\:\%}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Une personne dépose 1500 \euro{} sur un livret A d'épargne a un taux d'intérêts composés  annuel de 2,25\:\%. Autrement dit, les intérêts sont calculés chaque année à partir du nouveau montant total.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer  le coefficient multiplicateur annuel.
Le coefficient multiplicateur annuel est \\
$C=1+2,25\:\%=1,0225$.

\item %Déterminer le montant présent sur son compte, au centime près
Le montant présent sur son compte, au centime près 
\begin{enumerate}[a)]
\item 2 ans plus tard est $\numprint{1500}\times \numprint{1,0225}^2\approx\boxed{\textcolor{red}{ \numprint{1568,26}~\text{\euro}}}$.

\item 3 ans plus tard : $\numprint{1500}\times \numprint{1,0225}^3\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{1603,55}~\text{\euro}}}$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  