\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le fancy de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}

\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle sur les vecteurs}}
\end{center}

\subsection{ \textcolor{blue}{(1,5 point)}}
À l’aide de la relation de Chasles, simplifier les expressions suivantes :

\begin{enumerate}

\item $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}$

\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}$

\end{enumerate}


\subsection{ \textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On considère la figure ci-dessous
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(9,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(9,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(9,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](2,0)(5,1)(1,5)
\uput[r](2,0){A}
\uput[dr](5,1){B}
\uput[u](1,5){C}
%\pstGeonode(-2,4){D}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Construire le point D tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

\item $E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$.
\begin{enumerate}
\item Construire le point E.

\item Donner deux vecteurs égaux à $\overrightarrow{AB}$.

\item En déduire la nature du quadrilatère $BECD$. (Expliquer)
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé, on donne les points : A(-2~;~4), B(3~;~3) C(-1~;~0), D(4~;~-1).

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.


\item Le quadrilatère ABDC est-il aussi un losange ?

\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}

Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points A(1~;~4), B(5~;~-3) et C(2~;~5).

\textbf{Calculer} les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.



\newpage



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}



\parbox{8cm}{Sur la figure ci-contre, on a représenté un triangle ABC. Construire  les points M, N, P, Q définis par :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

\bigskip

\item $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

\bigskip

\item $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$.

\bigskip

\item $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{9cm}{\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-5)(5,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,1)(3,0)(2,3)
\uput[d](1,1){A}
\uput[ur](3,0){B}
\uput[u](2,3){C}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30](1,1)(3,0)(2,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1,-5)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-5)(5,4)
\end{pspicture}

\end{center}
}





\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}

On donne les points A(3~;~-1), B(7~;~5) et C(-3~;~3) dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J).

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$.

\item Calculer les longueurs AB, AC et BC.

\item Quelle est la nature du triangle ABC (Justifier !)

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soient [AC] et [BD] deux diamètres d'un cercle $\mathscr{C}$ .

\begin{enumerate}

\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.

\item Démontrer que $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  