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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : TD \no 8 (vecteurs (2))}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
En utilisant la relation de Chasles, recopier et compléter les égalités suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\star C}$

\item $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{F\star }+\overrightarrow{U\star }$

\item $\overrightarrow{OU}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{UR}=\overrightarrow{\star \star }$

\item $\overrightarrow{RT}=\overrightarrow{\star I}+\overrightarrow{I\star }$

\item $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{\star M}+\overrightarrow{\star N}+\overrightarrow{\star \star }$
\end{enumerate}

\subsection{}
Considérons huit points D, O, R, E, M, I, F et A tels que les quadrilatères DORE, REMI et MIFA sont tous des parallélogrammes \textbf{\textcolor{red}{quelconques}}.\\

\begin{enumerate}

\item Faire une figure (attention, ce sont des parallélogrammes quelconques et respecter l'ordre des points !)

\item Montrer que $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{ER}$.

\item Compléter en expliquant : 
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{ER}=\cdots$

\item $\overrightarrow{MI}=\cdots$
\end{enumerate}

\item Que peut-on en déduire pour les vecteurs $\overrightarrow{DO}$ et $\overrightarrow{AF}$ ?

\item Démontrer alors que le quadrilatère DOFA est lui aussi un parallélogramme.
\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Soient $A$ et $B$ deux points quelconques\\
 ($A\neq B$). En utilisant la relation de Chasles, simplifier l'expression $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Que se passe-t-il si on fait subir à un objet une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivie d'une translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$ ?

\item Expliquer alors pourquoi on écrit :\\
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$ (vecteur nul)

\item Par analogie avec les nombres, puisque $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$, on écrit : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ ; on dit que ces vecteurs sont opposés.\\
Pour trois points $A$, $B$ et $C$, comment peut-on simplifier $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ ? \\
On remarquera que :\\
$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\left(-\overrightarrow{AB}\right)$.
\end{enumerate}

\item Dans un parallélogramme $ABDC$, que représentent géométriquement  les vecteurs $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

 \end{enumerate}

\subsection{}
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$.\\
Indiquer si chacune des égalités suivantes est vraie ou non (expliquer).
\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{ OC}$

\item $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ OD}= \overrightarrow{0}$

\item $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{BC}$

\item $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$

\item $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles :

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB}$

\item $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BD} -\overrightarrow{BC}$

\item $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}$
\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  