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\begin{document}
%\tableofcontents
 

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Rappels de Seconde sur les probabilités finies}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textbf{\textcolor{red}{Vocabulaire}}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Expérience aléatoire}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable, lée au hasard, dont les résultats possibles sont connus sans qu'on puisse déterminer lequel sera réalisé.\end{bclogo}
 
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : on lance une pièce de monnaie. On sait que l'on va obtenir Pile ou Face, mais on ne sait pas quel résultat on va obtenir..

\noindent Si l'on lance un dé cubique, on va obtenir un entier compris entre 1 et 6.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Univers et éventualités}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Lors d'une expérience aléatoire, on appelle \textbf{univers}, noté $\Omega$, l'ensemble des résultats possibles, que l'on appelle \textbf{éventualités} ou \textbf{issues}.

\item Dans tout le chapitre, $\Omega$ est un ensemble fini (ne contenant qu'un nombre fini d'éléments)

\item Les sous-ensembles de $\Omega$ sont appelés \textbf{événements}.

\item Un événement \textbf{élémentaire} ne contient qu'un élément.

\item $\Omega$ est l'événement \textbf{certain}.

\item L'ensemble vide, $\emptyset$, est l'événement \textbf{impossible}.
\end{enumerate}

\end{bclogo}


\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}}

On lance un dé et on note le résultat de la face supérieure.\\
L'univers est : $\boxed{\textcolor{red}{\Omega=\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6\}}}$
\bigskip


\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \og{} Obtenir un résultat pair\fg{} est un événement, constitué des trois éventualités \{2~;~4~;~6\}.\\

\item \og Obtenir un entier strictement inférieur  à 2\fg{} est un événement élémentaire car il n'est constitué que de 1 : c'est \{1\}.

\item \og{} Obtenir un multiple de 10\fg{} est\textbf{ \textcolor{red}{l'événement impossible}} noté $\emptyset$.

\item \og{}Obtenir un entier inférieur à 7\fg{} correspond à l'univers : on parle \textbf{\textcolor{red}{d'évènement certain}}.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Intersection, réunion}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient deux événements A et B.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On note $\text{A}\cap\text{B}$ l'intersection de A et de B, constituée des éventualités appartenant à A et à B.

\item On note $\text{A}\cup\text{B}$ la réunion de A et de B, constituée des éventualités appartenant à A ou à B.
\end{enumerate}
\end{bclogo}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Événement contraire}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle \textbf{\textcolor{red}{événement contraire}} de A, noté $\overline{\text{A}}$, l'ensemble des éventualités de $\Omega$ qui ne sont pas dans A.\\
A et B sont incompatibles lorsque $\text{A}\cap\text{B}=\emptyset$.
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Probabilités}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Lois de probabilité}}
Lors d'une expérience aléatoire, on cherche à mesurer le nombre de chances d'arrivées de chaque éventualité.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\Omega=\{a_{1}~;~a_{2}~;~\cdots a_{n}\}$ l'univers associé à une expérience aléatoire.\\
On définit une loi de probabilité sur $\Omega$ en 	choisissant des nombres $p_{1}$, $p_{2}$, \dots $p_{n}$  tous compris entre 0 et 1, tels que $p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1$.\\
$p_{i}$ est la probabilité de l'événement élémentaire $a_{i}$ pour tout entier $i$ entre 1 et $n$.\\
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : Pour un dé non truqué, on choisit $\dfrac{1}{6}$ comme probabilité de chaque face.\\
La probabilité d'avoir un résultat pair est $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$.

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : une pièce de monnaie est truquée ; on s'aperçoit, en la lançant un grand nombre de Foix, que l'on a deux fois de chances due tomber sur \og{}Pile\fg{} que sur \og{}Face\fg{}.\\
L'univers ne possède que deux issues \og{}Pile\fg{} et \og{}face\fg{}.\\
Si on onte $p$ la probabilité d'avoir \og{}Face\fg{}, celle d'obtenir \og{}Pile\fg{} est alors $2p$.\\
La loi de probabilité est alors donnée par le tableau suivant :

\begin{tabular}{|*{3}{l|}} \hline
issue&Face&Pile\\
\hline
Probabilité&p&2p\\
\hline
\end{tabular}

La somme des deux probabilités doit être égale à 1, donc $p+2p=3p=1$ donne $p=\dfrac{1}{3}$.\\
La probabilité d'avoir \og{}Face\fg{} est donc $\dfrac{1}{3}.$\\
La probabilité d'avoir \og{}Pile\fg{} est donc $\dfrac{2}{3}$.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Lien avec les fréquences}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!40, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si l'on effectue une expérience aléatoire $n$ fois de suite dans les mêmes conditions, la fréquence de réalisation d'un événement se stabilise lorsque $n$ devient très grand et se rapproche d'un nombre fixe.\\
Comme modèle probabiliste, on prend alors comme probabilité pour chaque événement la limite des fréquences.
\end{bclogo}




\columnbreak

\subsection{\textcolor{red}{Calculs de probabilités}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On dit qu'on a équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!40, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si l'on est dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est : \\
$p(\text{A})=\dfrac{\text{Nombre d'éléments de A}}{\text{Nombre d'éléments de }\Omega}$
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : une classe de 35 élèves comprend 20 filles.\\
On choisit un élève au hasard et on note F l'événement \og l'élève choisi est une fille\fg.\\
$p(F)=\dfrac{20}{35}=\dfrac{4}{7}$.

\subsection{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!40, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout événement A : $0\leqslant p(\text{A})\leqslant 1$

\item $p(\Omega)=1$ ; $p(\emptyset)=0$

\item Pour deux événements A et B : \\
$p(\text{A}\cup \text{B})=p(\text{A})+p(\text{B})-p(\text{A}\cap\text{B})$

\item Si A et sont incompatibles : \\
$p(A \cap B)=0$ donc : \\
$p(\text{A}\cup \text{B})=p(\text{A})+p(\text{B})$.

\item $p(\overline{\text{A}})=1-p(\text{A})$

\item $\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$ et $\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  