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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Géométrie repérée dans le plan}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents




\subsection{\textcolor{red}{Coordonnées du milieu d'un segment}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient deux points $A\left(x_{A}~;~y_{A}\right)$ et $B\left(x_{B}~;~y_{B}\right)$ deux points. Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : 
$x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}$ et $y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}$.\\
Cela revient à calculer la moyenne des abscisses et des ordonnées.

\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemples d'application :}}\\

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Exemple 1}}


Dans le plan muni d'un repère $(O~;~I~;~J)$, on considère les points A(-3~;~-1), B(5~;~-2), C(7~;~3) et 

D(-1~;~4).

Montrer que ABCD est un parallélogramme.\\

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Solution de l'exemple 1}}
Notons $K$ et $L$ les milieux des deux diagonales $[AC]$ et $[BD]$.\\
$x_{K}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=\dfrac{-3+7}{2}=\dfrac{4}{2}=2$ et $y_{K}=\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=1$\\
$x_{L}=\dfrac{x_{B}+x_{D}}{2}=\dfrac{5+(-1)}{2}=\dfrac{4}{2}=2$ et $y_{L}=\dfrac{y_{B}+y_{D}}{2}=\dfrac{-2+4}{2}=1$\\
$K$ et $L$ sont les mêmes coordonnées donc $K=L$.\\
Les diagonales du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu : \fbox{\textcolor{red}{ABCD est un parallélogramme}}.


\subsubsection*{\textcolor{blue}{Exemple 2}}

 On considère les points A(2~;~5), B(-1~;~7) et C(11~;~13).\\
On cherche les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.\\

\subsubsection*{\textbf{\textcolor{blue}{Solution de l'exemple 2}}}

On note $x_{\text{D}}$ et $y_{\text{D}}$ les coordonnées de D.\\
ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.\\
Soit M le milieu de [AC] ; on a : \\
$\left\{\begin{array}{l}x_{\text{M}}=\dfrac{x_{\text{A}}=x_{\text{C}}}{2}=\dfrac{13}{2}\\ y_{\text{M}}=\dfrac{y_{\text{A}}+y_{\text{C}}}{2}=9\end{array}\right.$.\\
De même, les coordonnées du milieu de [AD] sont : $\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x_{\text{B}}+x_{\text{D}}}{2}=\dfrac{-1+x_{\text{D}}}{2}\\\dfrac{y_{\text{B}}+y_{\text{D}}}{2}=\dfrac{7+y_{\text{D}}}{2}\end{array}\right.$\\

Les deux diagonales ont le même milieu, donc on doit avoir égalité entre les coordonnées :\\
Donc $\dfrac{-1+x_{\text{D}}}{2}=\dfrac{13}{2}$ d'où $-1+x_{\text{D}}=13$, donc $x_{\text{D}}=14$.\\
$\dfrac{7+y_{\text{D}}}{2}=9$ donc $7+y_{\text{D}}=18$ d'où $y_{\text{D}}=11$.\\
D a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\text{D}(14~;~11)}}$.


\subsection{\textcolor{red}{Distance entre deux points}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O~;~I~;~J).\\
On considère les points $A\left(x_{A}~;~y_{A}\right)$ et $B\left(x_{B}~;~y_{B}\right)$.\\
Alors, la distance AB vaut : $AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^2+\left(y_{B}-y_{A}\right)^2}$
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}\\
Supposons que $x_B>x_A$ et $y_B>y_A$.\\
Cette démonstration est basée sur le théorème de Pythagore.\\

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(9,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(8,6)
\psline[linestyle=dashed](2.56,2.46)(7.04,2.46)
\psline[linestyle=dashed](7.04,4.78)(7.04,2.46)
\psline(2.56,2.46)(7.04,4.78)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.56,2.46)
\rput[bl](2.64,2.58){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.04,4.78)
\rput[bl](7.12,4.9){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.04,2.46)
\rput[bl](7.12,2.58){\darkgray{$C$}}
\psline[linestyle=dashed](2.56,2.46)(2.56,0)
\psline[linestyle=dashed](7.04,2.46)(7.04,0)
\psline[linestyle=dashed](2.56,2.46)(0,2.46)
\psline[linestyle=dashed](7.04,4.78)(0,4.78)
\uput[d](2.56,0){$x_{A}$}
\uput[d](7.04,0){$x_{B}$}
\uput[l](0,2.46){$y_{A}$}
\uput[l](0,4.78){$y_{B}$}
\uput[d](5,2.56){$x_{B}-x_{A}$}
\uput[r](7.04,3.5){$y_{B}-y_{A}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Comme le repère est orthonormé, le triangle ABC est rectangle.\\
D'après le théorème de Pythagore, on a : $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^2+\left(y_{B}-y_{A}\right)^2}}}$.\\

\noindent On admet que cette démonstration est valable quelles que soient les positions de A et de B,\\
car $\left(x_B-x_A\right)^2=\left(x_A-x_B\right)^2$ et $\left(y_B-y_A\right)^2=\left(y_A-y_B\right)^2$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : cette formule est à apprendre par cœ ur et à appliquer directement.
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : Soient $A(3~;~7)$ et $B(2~;~13)$.

$AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^2+\left(y_{B}-y_{A}\right)^2}=\sqrt{(2-3)^2+(13-7)^2}=\sqrt{(-1)^2+6^2}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{37}}}$


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercice 1 :}}\\
Montrer que le point $A\left(1~;~\sqrt{2}\right)$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{3}$.\\

\noindent $OA=\sqrt{\left(x_{A}-x_{O}\right)^{2}+\left(y_{A}-y_{O}\right)^{2}}=\sqrt{1^{2}+\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$.\\
La longueur OA est égale au rayon du cercle donc A appartient au cercle.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercice 2:}}\\
Soient $A(1~;~-2)$ et $B(4~;~2)$.\\
Montrer que B appartient au cercle de centre $\mathscr{C}$ de centre A et de rayon $5$.\\
$AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^2+\left(y_{B}-y_{A}\right)^2}=\sqrt{(4-1)^{2}+(2-(-2))^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.\\
B appartient bien au cercle de centre A et de rayon 5.\\

\noindent \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercice 3:}}\\
Soient $A(-2~;~-1)$, $B(1~;~3)$ et $C(-3~;~6)$.\\
Démontrer que ABC est rectangle isocèle.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(3-(-1))^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

\item $BC=\sqrt{(-3-1)^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

\item $AC=\sqrt{(-3-(-2))^{2}+(6-(-1))^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+7^{2}}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$

\item $AB=BC$ donc ABC est isocèle.

\item $AC^{2}=\sqrt{50}^{2}=50$ ; $AB^{2}+BC^{2}=5^{2}+(^{2}=25+25=50$.\\
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle.\\
Il est donc \fbox{\textcolor{red}{isocèle rectangle en B}}.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  