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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la somme de vecteurs et la relation de Chasles}}\end{center}



\subsection{}
Dans chacun des exercices donn\'es ci-dessous, d\'eterminez le vecteur \'egal au vecteur $\vec{u}$.\\


\begin{enumerate}[a)]
\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{CF}}+\overrightarrow{\mathrm{IQ}}+\overrightarrow{\mathrm{FI}}=\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FI}+\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IQ}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CQ}}}$. (En utilisant la relation de Chasles)

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{HO}}+\overrightarrow{\mathrm{OZ}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{HZ}}}$.

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{SY}}+\overrightarrow{\mathrm{IJ}}+\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\overrightarrow{\mathrm{KS}}=\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{KS}+\overrightarrow{SY}=\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KY}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{IY}}}$.

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{ST}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}+\overrightarrow{\mathrm{DJ}}+\overrightarrow{\mathrm{LO}}+\overrightarrow{\mathrm{JL}}=\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{JL}+\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{DL}+\overrightarrow{LS}+\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{DS}+\overrightarrow{WT}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DT}}}$.

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{EW}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EW}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EW}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AW}}}$.

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{NV}}+\overrightarrow{\mathrm{DN}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{NV}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DV}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AV}}}$.

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{CF}}+\overrightarrow{\mathrm{NT}}+\overrightarrow{\mathrm{FN}}+\overrightarrow{\mathrm{TU}}=\overrightarrow{\mathrm{CF}}+\overrightarrow{\mathrm{FN}}+\overrightarrow{\mathrm{NT}}+\overrightarrow{\mathrm{TU}}=\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NU}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CU}}}$.

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{EG}}+\overrightarrow{\mathrm{GQ}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{EQ}}}$.

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{DE}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AE}}}$.

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{VW}}+\overrightarrow{\mathrm{SV}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}\overrightarrow{\mathrm{NP}}+\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{GN}}=\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{SV}+\overrightarrow{VW}=\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SW}=\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SW}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{GW}}}$

\item $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{VW}}+\overrightarrow{\mathrm{SV}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{NP}}+\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{GN}}=\overrightarrow{\mathrm{NP}}+\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{SV}}+\overrightarrow{\mathrm{VW}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{NW}}}$
.
\end{enumerate}


\subsection{}
 $ABC$ est un triangle. 

\begin{enumerate}
\item %Construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}$.\\
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}$ équivaut à $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}$ donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.\\
Voir figure ci-dessous.

%  Que peut-on dire du quadrilatère $ADBC$ ?
Puisque $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$, ADBC est un parallélogramme.

\item %Construire le point $M$ tel que $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$.\\
On doit donc avoir : $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{DC}$ ; on en déduit que BMCD est un parallélogramme.\\
On construit M à l'aide d'un compas.
\end{enumerate}

Figure :
\begin{center}
\psset{unit=0.5,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-7)(12,6)
\pspolygon[linewidth=1pt,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,4)(0,0)(6,-1)
\pspolygon[linewidth=1pt,fillcolor=yellow!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(6,-1)(2,4)(-4,5)
\pspolygon[linewidth=1pt,fillcolor=red!10,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(10,-6)(6,-1)(-4,5)
\psline(2,4)(0,0)
\psline(0,0)(6,-1)
\psline(6,-1)(2,4)
\psline(0,0)(6,-1)
\psline(6,-1)(2,4)
\psline(2,4)(-4,5)
\psline(-4,5)(0,0)
\psline(0,0)(10,-6)
\psline(10,-6)(6,-1)
\psline(6,-1)(-4,5)
\psline(-4,5)(0,0)
\psdots[dotstyle=*](2,4)
\rput[bl](2.1642034640000043,4.400761665999998){$A$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0,0)
%\rput[bl](0.1375376800000029,0.3084557560000002){$B$}
\uput[l](0,0){B}
\psdots[dotstyle=*](6,-1)
\rput[bl](6.139586348000006,-0.6269284519999994){$C$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](-4,5)
\rput[bl](-3.8378452039999993,5.2971715319999975){$D$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](10,-6)
\rput[bl](10.153943574000008,-5.693592911999997){$M$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\subsection{}
Soit $ABCD$ un rectangle de centre $I$ et $M$ un point quelconque. \\
%Construire le point $N$ tel que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BC}$.\\
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{BC}$ équivaut à $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AI}$.\\
On a donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AI}}}$.

%Quelle est la nature du quadrilatère $AINM$ ?
Puisque $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AI}$, le quadrilatère $AINM$ est un parallélogramme.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,6)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=cyan!10,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(4,3)(4,0)(0,0)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=red!10,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(2,1.5)(6,3.5)(4,5)
\psline[linewidth=1pt](0,3)(4,3)
\psline[linewidth=1pt](4,3)(4,0)
\psline[linewidth=1pt](4,0)(0,0)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(0,3)
\psline[linewidth=1pt](0,3)(4,0)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(4,3)
\psline[linewidth=1pt](0,3)(2,1.5)
\psline[linewidth=1pt](2,1.5)(6,3.5)
\psline[linewidth=1pt](6,3.5)(4,5)
\psline[linewidth=1pt](4,5)(0,3)
\psdots[dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](0.08,3.2){$A$}
\psdots[dotstyle=*](4,3)
\rput[bl](4.08,3.2){$B$}
\psdots[dotstyle=*](4,0)
\rput[bl](4.18,-0.34){$C$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.08,-0.44){$D$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](2,1.5)
\rput[bl](1.9,1.8){$I$}
\psdots[dotstyle=*](4,5)
\rput[bl](4.08,5.2){$M$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](6,3.5)
\rput[bl](6.08,3.66){$N$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\subsection{}
\parbox{8cm}{On considère un objet mobile soumis à trois forces $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$
et $\overrightarrow{F_3}$. 

\bigskip

L'objet est-il en équilibre ou va-t'il se déplacer ? 
Dans quelle direction ?\\
On doit construire le vecteur somme \\
$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$.\\
On appelle $\overrightarrow{F_4}$ la somme $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. C'est la somme de deux vecteurs de même origine, donc la diagonale du parallélogramme que l'on peut former sur ces deux vecteurs.\\
Alors : $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F_4}+\overrightarrow{F_3}$.\\
La force résultante, $\overrightarrow{F}$ est différente du vecteur nul ; l'objet va se déplacer, vers le haut.\\
Attention, la norme du vecteur $\overrightarrow{F}$ correspond à l'intensité de la force appliquée à l'objet, pas à la longueur de son déplacement.
}\hfill
\parbox{10cm}{\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.)(3.,2.8)
%  \multido{\i=-3+1}{7}{
%    \psline[linewidth=.3pt](\i,-3)(\i,3)
%    \psline[linewidth=.3pt](-3,\i)(3,\i)}
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt](-3,-3)(3,3)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-.2,-.2)(-.2,.2)(.2,.2)(.2,-.2)
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,-3)\rput(-.4,2.4){$\overrightarrow{F_1}$}
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,3)\rput(-.4,-2.6){$\overrightarrow{F_2}$}
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(2,1)\rput(1.6,.3){$\overrightarrow{F_3}$}
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(-1,-3)(-2,0)\uput[l](-1.5,-1.5){$\overrightarrow{F_1}$}
    \psline[linewidth=1.8pt]{->}(-2,0)(-1,3)\uput[l](-1.5,1.5){$\overrightarrow{F_2}$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-2,0)\uput[d](-1,0){$\overrightarrow{F_4}$}
\psline[linewidth=1.8pt](-2,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.8pt](0,1)(2,1)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,1)\uput[r](0,0.5){$\overrightarrow{F}$}
\end{pspicture}

\end{center}}

\label{fin}
\end{document}  