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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Corrigé du contrôle sur 10 points (sujet A)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
On considère les points $A(2~;~7)$ et $B(3~;~5)$.\\
%Calculer les coordonnées du point $M$, milieu de $[AB]$.
Les coordonnées de $M$ sont $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$, donc $M\left(\dfrac{2+3}{2}~;~\dfrac{7+5}{2}\right)$.\\
Par conséquent $M$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{5}{2}~;~6\right)}}$


\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
On considère les points $A(-1~;~2)$, $B(4~;~5)$, $C(5~;~2)$ et $D(0~;~-1)$.\\
%$ABCD$ est-il un parallélogramme ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $M$ le milieu de la diagonale $[AC]$.\\
 $M\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}~;~\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{-1+5}{2}~;~\dfrac{2+2}{2}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{M(2~;~2)}}$.
 
 \item Soit $M'$ le milieu de la diagonale $[BD]$.\\
 $M'\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}~;~\dfrac{y_B+y_D}{2}\right)$ donc $M'\left(\dfrac{4+0}{2}~;~\dfrac{5+(-1)}{2}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{M'(2~;~2)}}$.

\item $M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées donc $M=M'$.\\
Les diagonales du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu : c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}} .

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
On considère les points $A(-2~;~3)$, $B(2~;~4)$, $C(4~;~2)$.\\
%Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, il faut qu'les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ aient le même milieu.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Notons $M$ le milieu de $[AC]$ : $M\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}~;~\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{-2+4}{2}~;~\dfrac{3+2}{2}\right)$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(1~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.

\item $M$ doit être le milieu de $[BD]$, donc :\\
$\begin{cases}x_M=\dfrac{x_B+x_D}{2}\\y_M=\dfrac{y_B+y_D}{2}\end{cases}$ d'où $\begin{cases}1=\dfrac{2+x_D}{2}\\\dfrac{5}{2}=\dfrac{4+y_D}{2}\end{cases}$. Par conséquent : $\begin{cases}2=2+x_D\\5=4+y_D\end{cases}$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{D(0~;~1)}}$
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,3)(2,4)(4,2)(0,1)
\uput[u](-2,3){A}
\uput[u](2,4){B}
\uput[u](4,2){C}
\uput[l](0,1){D}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red!30](-2,3)(2,4)(4,2)(0,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(5,5)
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On considère les points $A(- 2~;~-1)$, $B(1~;~3)$ et $C(-3~;~6)$.\\
%Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle isocèle.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(1-(-2))^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AB=5}}$.

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(-5-(-1))^2+(6-3)^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{BC=5}}$.

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(-5-(-4))^2+(6-(-1))^2}=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{50}}}$.

\item $AB=BC$ donc $ABC$ est isocèle.\\
$AC^2=50$ et $AB^2+BC^2=25+25=50$ donc $AC^2=AB^2+BC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en B.\\
Conclusion : $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{isocèle rectangle}} en $B$

\end{enumerate}


\newpage


%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}
\vspace{2cm}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Corrigé du contrôle sur 10 points (sujet B)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
On considère les points $A(6~;~3)$ et $B(3~;~5)$.\\
%Calculer les coordonnées du point $M$, milieu de $[AB]$.
Les coordonnées de $M$ sont $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$, donc $M\left(\dfrac{6+3}{2}~;~\dfrac{3+5}{2}\right)$.\\
Par conséquent $M$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{9}{2}~;~4\right)}}$


\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
On considère les points $A(-2~;~3)$, $B(3~;~6)$, $C(4~;~3)$ et $D(-1~;~0)$.\\
%$ABCD$ est-il un parallélogramme ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $M$ le milieu de la diagonale $[AC]$.\\
 $M\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}~;~\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{-2+4}{2}~;~\dfrac{3+3}{2}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{M(1~;~3)}}$.
 
 \item Soit $M'$ le milieu de la diagonale $[BD]$.\\
 $M'\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}~;~\dfrac{y_B+y_D}{2}\right)$ donc $M'\left(\dfrac{3+(-1)}{2}~;~\dfrac{6+0}{2}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{M'(1~;~3)}}$.

\item $M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées donc $M=M'$.\\
Les diagonales du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu : c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}} .

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
On considère les points $A(-1~;~4)$, $B(3~;~5)$, $C(4~;~2)$.\\
%Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, il faut qu'les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ aient le même milieu.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Notons $M$ le milieu de $[AC]$ : $M\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}~;~\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{-1+4}{2}~;~\dfrac{4+2}{2}\right)$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{3}{2}~;~3\right)}}$.

\item $M$ doit être le milieu de $[BD]$, donc :\\
$\begin{cases}x_M=\dfrac{x_B+x_D}{2}\\y_M=\dfrac{y_B+y_D}{2}\end{cases}$ d'où $\begin{cases}\dfrac{3}{2}=\dfrac{3+x_D}{2}\\3=\dfrac{5+y_D}{2}\end{cases}$. Par conséquent : $\begin{cases}3=3+x_D\\6=5+y_D\end{cases}$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{D(0~;~1)}}$
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-1,4)(3,5)(4,2)(0,1)
\uput[u](-1,4){A}
\uput[u](3,5){B}
\uput[u](4,2){C}
\uput[l](0,1){D}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red!30](-1,4)(3,5)(4,2)(0,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(5,5)

\end{pspicture}

\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On considère les points $A(-4~;~-1)$, $B(-1~;~3)$ et $C(-5~;~6)$.\\
%Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle isocèle.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(-1-(-4))^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AB=5}}$.

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(-5-(-1))^2+(6-3)^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{BC=5}}$.

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(-5-(-4))^2+(6-(-1))^2}=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{50}}}$.

\item $AB=BC$ donc $ABC$ est isocèle.\\
$AC^2=50$ et $AB^2+BC^2=25+25=50$ donc $AC^2=AB^2+BC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en B.\\
Conclusion : $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{isocèle rectangle}} en $B$

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  