\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le fancy de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}

\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle sur les vecteurs}}
\end{center}

\subsection{ \textcolor{blue}{(1,5 point)}}
À l’aide de la relation de Chasles, simplifier les expressions suivantes :

\begin{enumerate}

\item $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AF}}}$

\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}}$

\end{enumerate}


\subsection{ \textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On considère la figure ci-dessous
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(9,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](2,0)(5,1)(1,5)(-2,4)(8,2)
\uput[r](2,0){A}
\uput[dr](5,1){B}
\uput[u](1,5){C}
\uput[u](-2,4){D}
\uput[d](8,2){E}
\pspolygon[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30](2,0)(5,1)(1,5)(-2,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(9,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(9,6)
\psline(5,1)(8,2)
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Construire le point D tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
$ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

\item $E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$.
\begin{enumerate}
\item %Construire le point E.
Pour E, voir figure

\item %Donner deux vecteurs égaux à $\overrightarrow{AB}$.
On a : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}}$ car $ABCD$ est un parallélogramme et $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BE}}}$ car $B$ est le milieu de $AE$ par construction.

\item %En déduire la nature du quadrilatère $BECD$. [expliquer]
On en déduit que $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DC}$. On en déduit que $BECD$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé, on donne les points : A(-2~;~4), B(3~;~3) C(-1~;~0), D(4~;~-1).

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-2)=5\\3-4=-1\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}}}$

\item $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}x_D-x_C\\y_D-y_C\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont les mêmes coordonnées donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.\\
On en déduit que $ABDC$ est un parallélogramme.

\end{enumerate}

\item %Le quadrilatère ABDC est-il aussi un losange ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$

\item $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}$ donc $BD=\sqrt{1^2+(-4)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\neq \sqrt{26}$

\item $AB\neq BDC$ ; le parallélogramme $ABDC$ a deux côtés consécutifs $[AB]$ et $[BD]$ de longueurs différentes : ce n'est \textbf{\textcolor{red}{pas un losange}}.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}

Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points A(1~;~4), B(5~;~-3) et C(2~;~5).

%\textbf{Calculer} les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
$ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}}}$

\item $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}2-x_D\\5-y_D\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ si, et seulement si, $\begin{cases}2-x_D=4\\5-y_D=-7\end{cases}$ d'où $\begin{cases}\end{cases}$ d'où $\begin{cases}2-4=x_D\\5+7=y_D\end{cases}$.\\
On en déduit que les coordonnées de $D$ sont $\boxed{\textcolor{red}{D(-2~;~12)}}$.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}



\parbox{8cm}{Sur la figure ci-contre, on a représenté un triangle ABC. Construire  les points M, N, P, Q définis par :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\boxed{\textcolor{red}{AC}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M=C}}$

\bigskip

\item $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ : $N$ est le quatrième sommet du parallélogramme donc $[AB]$ et $[AC]$ sont deux côtés consécutifs (voir cours).

\bigskip

\item $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$.\\
On place $P$ tel que $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BP}$. \\
Alors : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}$

\bigskip

\item $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{9cm}{\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-5)(5,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1,-5)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-5)(5,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,1)(3,0)(2,3)(4,2)(4,-3)(2,-2)
\uput[d](1,1){A}
\uput[ur](3,0){B}
\uput[u](2,3){C=M}
\uput[ur](4,2){N}
\uput[dr](4,-3){P}
\uput[dr](2,-2){Q}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30](1,1)(3,0)(2,3)
\psline(2,3)(4,2)
\psline(3,0)(4,2)
\psline{->}(1,1)(4,2)
\psline(3,0)(4,-3)
\psline{->}(1,1)(4,-3)
\psline{->}(1,1)(2,-2)
\end{pspicture}

\end{center}
}





\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}

On donne les points A(3~;~-1), B(7~;~5) et C(-3~;~3) dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J).

\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-10\\-2\end{pmatrix}}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-6\\4\end{pmatrix}}}$.
\end{enumerate}

\item %Calculer les longueurs AB, AC et BC.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{52}}}$

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-10\\-2\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{(-10)^2+(-2)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{104}}}$

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-6\\4\end{pmatrix}$ donc $AC=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{52}}}$

\end{enumerate}
\item %Quelle est la nature du triangle ABC (Justifier !)
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=AC$ donc le triangle $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{isocèle}} en $A$.

\item $BC^2=104$ et $AB^2+AC^2=52+52=104$ donc $BC^2=AB^2+AC^2$.

\item D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en $A$.\\
Le triangle $ABC$ est donc \textbf{\textcolor{red}{isocèle rectangle}} en $A$.

\end{enumerate}
\bigskip
 Figure non demandée :
 \begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-2)(8,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-4,-2)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-2)(8,6)
\pstGeonode[PosAngle=-90](3,-1){A}
\pstGeonode(7,5){B}
\pstGeonode[PosAngle=180](-3,3){C}
\pspolygon[linewidth=2pt,linecolor=blue](A)(B)(C)
\pstRightAngle[RightAngleSize=.5,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{C}{A}{B}
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){O}
\pstGeonode[PosAngle=-90](1,0){I}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,1){J}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soient [AC] et [BD] deux diamètres d'un cercle $\mathscr{C}$ .\\
Figure :
\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-4)(4,4)
\pscircle[linewidth=2pt](0,0){3}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2.21,2.03)(-2.83,-0.99)(2.21,-2.03)(2.83,0.99)
\uput[ul](-2.21,2.03){A}
\uput[l](-2.83,-0.99){B}
\uput[dr](2.21,-2.03){C}
\uput[r](2.83,0.99){D}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-2.21,2.03)(2.21,-2.03)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](2.83,0.99)(-2.83,-0.99)
\pspolygon[linewidth=2pt,linecolor=blue](-2.21,2.03)(2.83,0.99)(2.21,-2.03)(-2.83,-0.99)
\uput[ur](1,2.8){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
Par construction, les diagonales du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu, donc c'est un parallèle. Comme ce sont les diamètres d'un cercle, les diagonales ont la même longueur, donc $ABCD$ est une rectangle.

\item %Démontrer que $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.
Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, on a : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.\\
Par conséquent : $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$ en appliquant la relation de Chasles.


\end{enumerate}
\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  