\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle sur les intervalles, début des fonctions}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans chaque cas, traduire sous forme d'appartenance à un intervalle :\\
(\textbf{\textcolor{blue}{exemple}} : $2\leqslant x\leqslant 4$ équivaut à $x\in[2~;~4]$ )



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[a)]
\item $x\leqslant 9$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-\infty~;~9]}}$

\bigskip

\item $-2<x\leqslant 7$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-2~;~7]}}$

\bigskip

\item $x>3$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]3~;~+\infty[}}$

\bigskip

\item $-2<x<10$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-2~;~10[}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Compléter le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{tabular}{|p{3cm}|p{7cm}|p{7cm}|}
\hline
Inégalités&phrase&appartenance à un ensemble\\
\hline
$\textcolor{red}{x<7}$&$x$ est strictement inférieur à 7&$\textcolor{red}{x\in]-\infty~;~7[}$\\
\hline
$-7 < x \leqslant 3$&\begin{minipage}{6cm}
\textcolor{red}{-7 est strictement inférieur à $x$ et $x$ est inférieur ou égal à 3}
\end{minipage}&$\textcolor{red}{x\in]-7~;~3]}$\\
\hline
$\textcolor{red}{x>-5}$&\textcolor{red}{$x$ est strictement supérieur à -5}&$x \in ]-5~;~+\infty [$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
%Qu'appelle-t-on intersection de deux ensembles A et B ?
L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartient à $A$ et p $B$ (partie commune).

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Pour chacun des cas suivants, faire un dessin, représenter les intervalles I et J de deux couleurs différentes.\\
Écrire $I\cup J$ et $I\cap J$ sous forme d'intervalles.



\begin{enumerate}[a)]
\item $ I=\left]1~;~6\right]$ et $ J=\left[0~;~3\right]$.

\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-1)(7,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=0]{}(0,0)(-2,0)(7,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](1,-0.2)(6,-0.2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,0.2)(3,0.2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0.2,0.4)(0,.4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,.4)(0,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,0)(0.2,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](2.8,0.4)(3,.4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](3,.4)(3,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](2.8,0)(3,0)

\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0.8,-0.4)(1,-.4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](1,-.4)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0.8,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](5.8,-0.4)(6,-.4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](6,-.4)(6,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](5.8,0)(6,0)

\uput[d](3.5,-0.2){$I$}\uput[u](1.5,.2){$J$}
\end{pspicture}
$\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=]1~;~3]}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=[0~;~6]}}$


\newpage



\item 

$ I=\left]-3~;~+\infty\right[$ et $ J=\left]2~;~3\right[$.

\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(7,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=0]{}(0,0)(-4,0)(7,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-3,-0.2)(7,-0.2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](2,0.2)(3,0.2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-3.2,-0.4)(-3,-.4)%I
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-3,-0.4)(-3,0)%I
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-3.2,0)(-3,0)%J
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](1.8,0)(2,0)%J
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](2,0.4)(2,0)%J
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](1.8,0.4)(2,0.4)%I
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](3.2,0)(3,0)%J
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](3,0.4)(3,0)%J
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](3.2,0.4)(3,0.4)%I

\uput[d](2.5,-0.2){$I$}\uput[u](2.5,.2){$J$}
\end{pspicture}

$\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=]2~;~3]}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=]-3~;~+\infty]}}$

\bigskip
\item 

$ I=\left[1~;~4\right]$ et $ J=\left[4~;~9\right[$.

\bigskip
$\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=\{4\}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=[1~;~9[}}$.

\item 

$ I=\left]-\infty~;~1\right[$ et $ J=\left]-\infty~;~2\right]$.

\bigskip

$\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=]-\infty~;~1[}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=]-\infty~;~2]}}$.

\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}


Ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}$, représentative d'une fonction $f$, définie sur $[-4~;~7]$.\\
Les points marqués ont des coordonnées entières.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-3)(8,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-5,-3)(8,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5,-3)(8,6)
\uput[ul](0,0){0}
\uput[u](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.5pt](-4,1)(-3,2)(-2,4)(-1,4)(0,1)(1,-1)(3,-3)(4,-1)(6,4)(7,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-4,1)(-2,4)(-1,4)(0,1)(1,-1)(3,-3)(4,-1)(6,4)(7,5)
\uput[r](5,2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item %Donner les images par $f$ des nombres -4~;~-1~;~0~;~3 et 4.
$\boxed{\textcolor{red}{f(-4)=1}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=4}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(0)=1}}$~;~$f\boxed{\textcolor{red}{(3)=-3}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(4)=-1}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Combien le nombre 4 a-t-il d'antécédents par $f$ ? Expliquer
Trois points de la courbe ont une ordonnée égale à 4 donc 4 a trois antécédents.

\item %Donner sa ou ses valeurs.
Ce sont -2, -1 et 6.

\item %6 a-t-il un antécédent par $f$ ?
6 n'a pas d'antécédent par $f$ car le maximum de $f$ est 5.

\item %5 a-t-il un antécédent par $f$ ? Si oui, lequel ?
5 a un seul antécédent par $f$ ; c'est 7.

\item %Quels sont les antécédents de -1 ?
Les antécédents de -1 par $f$ sont 1 et 4.
\end{enumerate}

%\item Rappeler la définition d'une fonction croissante sur un intervalle $I$.
%
%\item Quelles sont les variations de la fonction $f$ ?
%
%\item En déduire le tableau de variation de $f$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soient les fonctions définies sur $\mathbb{R}$:\\
$f : x\mapsto 2x^2+3x-5$\\
$g:x\mapsto -3x+4$ et\\
$h:x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer les images par $f$ de 3, de -1, de $\sqrt{2}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(3)=2\times 3^2+3\times 3-5=2\times 9+9-5=22$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(3)=22}}$.

\item $f(-1)=2\times (-1)^2+3\times (-1)-5=2\times 1-3-5=-6$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=-6}}$.

\item $f(\sqrt{2})=2\times \sqrt{2}^2+3\sqrt{2}-5=2\times 2+3\sqrt{2}-5=4+3\sqrt{2}-5=-1+3\sqrt{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f\left(\sqrt{2}\right)=-1+3\sqrt{2}}}$
\end{enumerate}

\item %Calculer les antécédents par $g$ de 0  et 4.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Antécédents de 0 par $g$ : on résout $g(x)=0$ donc $-3x+4=0$ qui donne $-3x=-4$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{4}{3}}}$.

\item Antécédents de 4 par $g$ ; on résout $g(x)=4$ donc $-3x+4=4$ qui donne $-3x=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=0}}$. 
\end{enumerate}

\item %Calculer les antécédents de 2 par $h$.
$x$ est un antécédent de 3 par $h$ équivaut à $h(x)=2$, donc $\dfrac{1}{2}x^2=2$.\\
On en déduit $x^2=4$ qui a pour solutions -2 et 2.\\
\fbox{\textcolor{red}{Les antécédents de 2 par $h$ sont -2 et 2}}.

\item %-1 a-t-il un antécédent par $h$ ? Pourquoi ?
$x$ est un antécédent de $-1$ par $h$ si, et seulement si, $h(x)=-1$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{2}x^2=-1$.\\
Ce n'est pas possible car $\dfrac{1}{2}x^2$ est positif, donc \fbox{\textcolor{red}{-1 n'a pas d'antécédent par $h$}}.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  
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\end{document}  