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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 8 (vecteurs)}}\end{center}




\subsection{}
En utilisant la relation de Chasles, recopier et compléter les égalités suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\textcolor{red}{B}C}$

\item $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{F\textcolor{red}{U} }+\overrightarrow{U\textcolor{red}{E} }$

\item $\overrightarrow{OU}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{UR}=\overrightarrow{\textcolor{red}{OS} }$

\item $\overrightarrow{RT}=\overrightarrow{R\textcolor{red}{I}}+\overrightarrow{I\textcolor{red}{T} }$

\item $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{\textcolor{red}{X}M}+\overrightarrow{\textcolor{red}{M}N}+\overrightarrow{\textcolor{red}{NY} }$
\end{enumerate}

\subsection{}
Considérons huit points D, O, R, E, M, I, F et A tels que les quadrilatères DORE, REMI et MIFA sont tous des parallélogrammes \textbf{\textcolor{red}{quelconques}}.\\



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}

\item %Faire une figure (attention, ce sont des parallélogrammes quelconques et respecter l'ordre des points !)
Figure possible :
\begin{center}
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(7,9)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-3)(7,9)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,-1)(5,-1)(6,1)(2,1)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=red!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](6,1)(2,1)(0,3)(4,3)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=blue!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(4,3)(6,8)(2,8)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](1,-1)(5,-1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](5,-1)(6,1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](6,1)(2,1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](2,1)(1,-1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](6,1)(2,1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](2,1)(0,3)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](0,3)(4,3)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](4,3)(6,1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](0,3)(4,3)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](4,3)(6,8)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](6,8)(2,8)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](2,8)(0,3)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1,-1)
\uput[d](1,-1){\ududff{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](5,-1)
\uput[d](5,-1){\ududff{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](6,1)
\rput[bl](6.08,1.2){\ududff{$R$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2,1)
\rput[bl](2.08,1.2){\ududff{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,3)
\uput[l](0.08,3.2){\xdxdff{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](4,3)
\uput[r](4.08,3.2){\ududff{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2,8)
\rput[bl](2.08,8.2){\ududff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](6,8)
\rput[bl](6.08,8.2){\ududff{$F$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Montrer que $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{ER}$.
$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{ER}$ car $DORE$ est un paralélogramme.

\item %Compléter en expliquant : 
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{ER}=\overrightarrow{MI}$ ($REMI$ est un parallélogramme)

\item $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{AF}$ ($MIFA$ parallelograme)
\end{enumerate}

\item %Que peut-on en déduire pour les vecteurs $\overrightarrow{DO}$ et $\overrightarrow{AF}$ ?
On a $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{ER}$, $\overrightarrow{ER}=\overrightarrow{MI}$ et $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{AF}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{AF}}}$

\item %Démontrer alors que le quadrilatère DOFA est lui aussi un parallélogramme.
Puisque $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{AF}$, on en déduit que $DOFA$ est lui aussi un parallélogramme.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Soient $A$ et $B$ deux points quelconques ($A\neq B$). %En utilisant la relation de Chasles, simplifier l'expression $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Que se passe-t-il si on fait subir à un objet une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivie d'une translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$ ?
Si on fait subir à un objet une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivie d'une translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$, l'objet revient à sa \textbf{\textcolor{red}{position initiale}}.

\item %Expliquer alors pourquoi on écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$ (vecteur nul)
On écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$ (vecteur nul) car cela caractérise une translation correspondant à un mouvement \og{}nul\fg{}.

\item %Par analogie avec les nombres, puisque $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$, on écrit : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ ; on dit que ces vecteurs sont opposés.\\
%Pour trois points $A$, $B$ et $C$, comment peut-on simplifier $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ ? \\
%On remarquera que $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\left(-\overrightarrow{AB}\right)$.
$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{BC}}}$. 
\end{enumerate}

\item %Dans un parallélogramme $ABDC$, que représentent géométriquement  les vecteurs $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.\\
On obtient les deux diagonales du parallélogramme $ABDC$.

 \end{enumerate}

\subsection{}
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,0)(9,7)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\uput[u](0,6){A}
\uput[u](6,6){B}
\uput[d](8,3){C}
\uput[d](2,3){D}
\uput[ul](4,4.5){O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](4,4.5)
\psline(0,6)(8,3)
\psline(2,3)(6,6)
\pspolygon(0,6)(6,6)(8,3)(2,3)
\end{pspicture}

\end{center}
Indiquer si chacune des égalités suivantes est vraie ou non (expliquer).
\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{ OC}$ : \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}, car $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$.

\item $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ OD}= \overrightarrow{0}$ :  \textbf{\textcolor{red}{VRAI}} car $O$ étant le milieu de la diagonale $[BD]$, on a $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ BO}=\overrightarrow{OO}=\overrightarrow{0}$

\item $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{BC}$ : \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}, on ne peut pas appliquer la relation de Chasles.

\item $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ :  \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}. En effet : \\
$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$ car $ABCD$ étant un parallélogramme, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$.

\item $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}$ : \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}.\\
En effet : $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}$ (d'après la relation de Chasles) et non $\overrightarrow{DA}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
%Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles :

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\\=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}}}$.

\item $\cancel{\overrightarrow{BC}}-\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BD} -\cancel{\overrightarrow{BC}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}}$

\item $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AB}\\
=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\\
=\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}}}$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  