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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TD \no  5 (milieu et longueur d'un segment)}}\end{center}

\subsection{}
On considère les points A(3~;~4) et B(2~;~2) du plan muni d’un repère (O~;~I~;~J).\\
%Déterminer les coordonnées du milieu $M$ de [AB].
$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{3+2}{2}~;~\dfrac{4+2}{2}\right)$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{5}{2}~;~3\right)}}$


\subsection{}
Dans un repère (O~;~I~;~J) du plan, on considère les points $A(1~;~-2)$, $B(6~;~1)$, $C(9~;~2)$ et $D(4~;~-1)$.\\
%$ABCD$ est-il un parallélogramme ?
Soit $M$ le milieu de la diagonale $[AC]$ : $M\left(\dfrac{1+9}{2}~;~\dfrac{-2+2}{2}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{M(5~;~0)}}$.\\
Soit $M'$ le milieu de la diagonale $[BD]$ : $M'\left(\dfrac{6+4}{2}~;~\dfrac{1+(-1)}{2}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{M'(5~;~0)}}$.\\
$M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées: $M=M'$.\\
Les deux diagonales du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu : c'est un parallélogramme.
 
\subsection{}

Dans un repère du plan, on considère les points E(3~;~4), F(6~;~6) et G(4~;~-1).\\
%Calculer les coordonnées du point H tel que EFGH soit un parallélogramme.
$EFGH$ est un parallélogramme si, et seulement si, les diagonales ont le même milieu.\\
Soit $M$ le milieu de la diagonale $EG$ : $M\left(\dfrac{x_E+x_G}{2}~;~\dfrac{y_E+y_G}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{3+4}{2}~;~\dfrac{4+(-1)}{2}\right)$, soit $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)}}$.\\
$M$ doit être le milieu de l'autre diagonale $[FH]$, donc : \\
$\begin{cases}\dfrac{x_F+x_H}{2}=\dfrac{7}{2}\\\dfrac{y_F+y_H}{2}=\dfrac{3}{2}\end{cases}$, c'est-à-dirte : $\begin{cases}\dfrac{6+x_H}{2}=\dfrac{7}{2}\\\dfrac{6+y_H}{2}=\dfrac{3}{2}\end{cases}$.\\
En multipliant par 2, on obtient : $\begin{cases}6+x_H=7\\6+y_H=3\end{cases}$ donc : $\begin{cases}x_H=7-6=1\\y_H=3-6=-3\end{cases}$.\\
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{H(1~;~-3)}}$

\subsection{}
Dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J), on considère les points $A(3~;~7)$ et $B(8~;~-2)$.\\
%Quelles sont les coordonnées du centre du cercle de diamètre $[AB]$ ?
Le centre d'un cercle est le milieu des diamètres, donc le centre $I$ du cercle est le milieu de $[AB]$.\\
$I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{I\left(\dfrac{11}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.


\subsection{}
Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(3~;~7)$, $B(-3~;~1)$ et $C(1~;~-3)$.\\
%Le triangle $ABC$  est -il rectangle ? Justifier.\\
%Est-il isocèle ? Justifier.
Calculons les longueurs des côtés : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(-3-3)^2+(1-7)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-6)^2}=\sqrt{36+36}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{72}=6\sqrt{2}}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{16+16}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{32}=4\sqrt{2}}}$

\item \item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(1-3)^2+(-3-7)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-10)^2}=\sqrt{4+100}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{104}=2\sqrt{26}}}$

\end{enumerate}
On constate que $AC^2=104$ et $AB^2+/BC^2=32+72=104$.\\
$AC^2=AB^2+BC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $B.$\\
Les côtés ont trois longueurs différentes, il n'est pas isocèle.

\subsection{}
Dans le repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$ du plan, on considère les points $A(-2~;~-3)$, $B(4~;~1)$.\\
%Les points  $M(3~;~2)$  et $N\left(-2~;~\dfrac{5}{2}\right)$ appartiennent-ils au cercle de diamètre $[AB]$ ? Justifier.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Commençons par chercher les coordonnées de $K$, centre du cercle ; $K$ est le milieu de $[AB]$.\\
$K\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ donc $K\left(\dfrac{-2+4}{2}~;~\dfrac{-3+1}{2}\right)$. Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{K(1~;~-1)}}$.

\item Calculons le rayon du cercle.\\
$AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(4-(-2))^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=\sqrt{4\times 13}=\sqrt{2^2\times 13}\\
=2\sqrt{13}$.\\
La rayon $r$ est $r=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$  ; $\boxed{\textcolor{red}{r=\sqrt{13}}}$.

\item $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$si, et seulement si, $KM=r=\sqrt{13}$.\\
$K(1~;~-1)$~;~$M(3~;~2)$.\\
Alors : $KM=\sqrt{\left(x_M-x_K\right)^2+\left(y_M-y_K\right)^2}=\sqrt{(3-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}=r$.\\
La longueur $KM$ est égale au rayon du cercle : \textcolor{red}{$M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$}.

\item $K(1~;~-1)$ et $N\left(-2~;~\dfrac{5}{2}\right)$.\\
Alors : $KN=\sqrt{\left(x_N-x_K\right)^2+\left(y_N-y_K\right)^2}=\sqrt{(-2-1)^2+(\dfrac{5}{2}-(-1))^2}=\sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{9+\dfrac{49}{4}}=\sqrt{\dfrac{85}{4}}\\
=\dfrac{\sqrt{85}}{2}\neq \sqrt{13}$.\\
La longueur $KN$ n'est pas égale au rayon du cercle : \textcolor{red}{$N$ n'appartient pas au cercle de diamètre $[AB]$}.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(5,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-5)(5,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-5)(5,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,-3)(4,1)(1,-1)(3,2)(-2,2.5)
\uput[l](-2,-3){$A$}
\uput[u](4,1){$B$}
\uput[r](1,-1){$K$}
\uput[u](3,2){$M$}
\uput[u](-2,2.5){$N$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-2,-3)(4,1)
\pscircle[linewidth=2pt,linecolor=red](1,-1){3.6056}
\end{pspicture}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  