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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TD \no 4 : correction des exercices sur les fonctions (issus d'anciens contrôles communs)}}\end{center}

\subsection{}
Ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}$, représentative d'une fonction $f$.

\noindent Les points marqués par une croix sont à coordonnées entières.
\begin{center}
\psset{unit=01}
\begin{pspicture}(-5,-4,)(10,5)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-5,-4,)(10,5)%grille
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-5,0)(7,0)%axe horizontal
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-2)(0,6)%axe vertical
%repère
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5,-4,)(10,5)
\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=red,arrows={)-}](-4,2)(-3,3)(-2.5,2.5)(-2,2)(-1,-1)(0,-3)(1,0)(2,1)(3,2)(4,1)(5,0)(6,1)(7,2)(7.5,2.5)(8,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-4,2)(-3,3)(-2,2)(-1,-1)(0,-3)(1,0)(2,1)(3,2)(4,1)(5,0)(6,1)(7,2)(8,4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](-4,3)(8,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](-4,2)(8,2)
\uput[u](7,2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de $f$ ?
L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=[-4~;~8]$.

\item %Donner les images de 3 ; de 6 et de -1 par la fonction $f$.
$f(-1)=-1$~;~$f(3)=2$~;~$f(6)=1$.

\item %Donner le(s) antécédent(s) éventuel(s) de 2,5 ; de -1 et de 4,5.
Les antécédents de 2,5 sont -3,7 ; -2,5  et 7,5.

\item %Quel est le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?
Le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}$ est 4, atteint pour x=8.

\item %Quel est le minimum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?
Le minimum de $f$ sur $\mathscr{D}$ est -3, atteint pour x=0.

\item %Résoudre graphiquement l' équation : $f(x)=3$
On cherche les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à 3.\\
Les solutions sont -3 et 7,7 environ. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~7,7\}}}$.

\item Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}

\item $f(x)\leqslant 2$.\\
On cherche les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée $y$ vérifie $y\leqslant 2$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-4\} \cup [-2~;~7]}}$

\item $f(x)>1$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-4~;~-1,6] \cup ]2~;~4[ \cup ]6~;~8]}}$.
\end{enumerate}

\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Tableau de variations de la fonction $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-4&&-3&&0&&3&&5&&8\\
\hline
\m{f(x)}&2&\c&\h{3}&\d&-3&\c&\h{2}&\d&0&\c&\h{4}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}


\newpage


\subsection{}
Voici le tableau de variation d'une fonction $f$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&-12&&0&&4&&16\\
\filet
\m{f(x)}&\h{4}&\d&-3&\c&\h{11}&\d&6\\
\filet
\end{variations}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image de 4 ?
L'image de 4 est 11.

\item %Combien le nombre -5 a-t-il d'antécédents par f ?
-5 n'a aucun antécédent par $f$ puisque le minimum de $f$ est -3. 

\item %Combien le nombre 2 a-t-il d'antécédents par f ?
2 a deux antécédents, un entre -12 et 0, l'autre entre 0 et 4.

\item Comparer lorsque c'est possible en justifiant : 


\begin{enumerate}
\item $f(-5)$ et $f(5)$.\\
$-5\in[-12~;~0]$ et $f$ est  \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-5)\leqslant 4}}$.

\noindent $5\in[4~;~16]$ et $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(5)\geqslant 6}}$.

\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f(-5)<f(5)}}$.

\item %$f(1)$ et $f(2)$.
\noindent 1 et 2 appartiennent à l'intervalle $[0~;~4]$ ; $1<2$ et $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(1)\leqslant f(2)}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Marie doute du bon fonctionnement de son four. Elle règle son four sur 200 degrés. D’après la notice, le four doit atteindre la
température de 200 degrés en 30 minutes puis maintenir la température constante.

Marie effectue des relevés de températures toutes les 10 minutes et obtient la courbe suivante qui donne en fonction du temps $x$ (en minutes) la température $f(x)$ du four (en degrés).

\psset{xunit=0.08,yunit=0.015}
\begin{pspicture}(-10,-20)(210,280)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-10,-20)(210,280)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(10,80)(20,130)(30,160)(40,200)(50,220)(60,210)(70,200)(80,180)(90,165)(100,160)(110,170)(120,185)(130,200)(140,210)(150,205)(160,200)(170,195)(180,185)(190,182)(200,180)
\multido{\n=0+10}{22}{\psline(\n,0)(\n,280)}
\multido{\n=0+20}{15}{\psline(0,\n)(210,\n)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](80,0)(80,180)(0,180)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](40,0)(40,200)(0,200)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](0,160)(200,160)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](30,160)(0,160)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](100,160)(0,160)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](0,200)(200,200)
\end{pspicture}

\bigskip
\begin{enumerate}
\item %Quel est le domaine de définition de la fonction $f$ ?
Le domaine de définition de la fonction $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=[0~;~200]}}$.

\item %Quelle est la température du four au bout de 80 minutes ?
La température du four au bout de 80 minutes est de \textbf{\textcolor{red}{180 \degre}}.

\item %Déterminer l’image de 40 par $f$.
L’image de 40 par $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{f(40)=200}}$.

\item %Quels sont les instants où la température du four est de 160 degrés ?
Le four atteint 160 degrés à l'instant \textbf{\textcolor{red}{30}} minutes et à l'instant \textbf{\textcolor{red}{100}} minutes.

\item %Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) < 200.
Les solutions de l'inéquation  $f(x)<200$ sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnées est strictement inférieure  200 : l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[0~;~40[\cup]70~;~130[\cup]160~;~200[}}$.

\item %Quel est le maximum de la fonction $f$ sur son ensemble de définition? Pour quelle valeur est-il atteint ?
Le maximum de la fonction $f$ sur son ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{220}}$ degrés. Il est atteint à l'instant $\boxed{\textcolor{red}{50}}$ minutes.

\item %Dresser le tableau de variation de $f$ sur son ensemble de définition.
Tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&50&&100&&140&&200\\
\hline
f(x)&0&\c&\h{220}&\d&160&\c&\h{210}&\d&180\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Pensez-vous que le four deMarie fonctionne correctement ? Justifier votre réponse.
Le four de Marie ne fonctionne pas correctement puisqu'il n'atteint 200 degrés qu'en 40 minutes et non 30 et la température ensuite n'est pas constante.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  