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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents



\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} correction du TD \no 24 (équations)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

\begin{enumerate}
\item $5x-2=4-2x\Leftrightarrow 5x+2x=4+2\Leftrightarrow 7x=6\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{7}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{6}{7}\right\}}}$

\bigskip

\item $4(x-6)=3(2x+3)\Leftrightarrow 4x-24=6x+9\Leftrightarrow 4x-6x=9+24\Leftrightarrow -2x=33\Leftrightarrow x=\dfrac{33}{2}=-\dfrac{33}{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=-\dfrac{33}{2}}}$

\bigskip

\item $\dfrac{x}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}x-1\Leftrightarrow \dfrac{x}{6}-\dfrac{7}{12}x=-1-\dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{7}{12}\right)x=-\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \left(\dfrac{2-7}{12}\right)x=-\dfrac{5}{4}\\
\Leftrightarrow -\dfrac{5}{12}x=-\dfrac{5}{4\Leftrightarrow }x=\dfrac{-\frac54}{-\frac5{12}}=\dfrac{\cancel{5}}{4}\times \dfrac{12}{\cancel{5}}=3$ ; \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=3}}$

\end{enumerate}


\subsection{}

%Elsa achète 24 assiettes plates, 12 assiettes creuses et 12 assiettes à dessert. \\
%Une assiette creuse coûte 2 \euro{}  de moins qu’une assiette plate. Une assiette à dessert coûte 5 \euro{}  de moins qu’une assiette plate. Elle dépense en tout 540 \euro{} . Quel est le prix de chaque sorte d’assiette ?
Soit $x$ le prix d'une assiette plate en \euro.\\
Une assiette creuse coûte alors $x-2$ et une assiette à dessert coute $x-5$.\\
Mise en équation : on a alors : $24x+12(x-2)+12(x-5)=540$.\\
Résolution :\\
$24x+12(x-2)+12(x-5)=540\Leftrightarrow 24x+12x-24+12x-60=540\\
\Leftrightarrow  48x+540+24+60\Leftrightarrow 48x=624\Leftrightarrow x=\dfrac{624}{48}=13$.\\
Une assiette plate coûte 13 \euro.\\
Une assiette creuse coûte 11 \euro{} et une assiette à dessert coûte 8~\euro.


\subsection{}
En retranchant un même nombre au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{23}{38}$, on obtient l'inverse de cette fraction, donc $\dfrac{38}{23}$.\\
%Quel est ce nombre sachant que l’on obtient l’inverse de la fraction initiale ?
Soit $x$ ce nombre.\\
On a : $\dfrac{23-x}{38-x}=\dfrac{38}{23}$.\\

\columnbreak
\textbf{\textcolor{blue}{Résolution :}}\\
$\dfrac{23-x}{38-x}=\dfrac{38}{23}\Leftrightarrow 23(23-x)=38(38-x)\Leftrightarrow 529-23x=1444-38x\\
\Leftrightarrow -23x+38x=1444-529\Leftrightarrow 15x=915\Leftrightarrow x=\dfrac{915}{15}=\boxed{\textcolor{red}{61}}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Vérification}} : $\dfrac{23-61}{38-61}=\dfrac{-28}{-23}=\dfrac{28}{23}$

\subsection{}
%Trouver une équation dont les uniques solutions sont 1~;~2~;~3~;~4 et 5.
Uune équation dont les uniques solutions sont 1~;~2~;~3~;~4 et 5 est par exemple $\boxed{\textcolor{red}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=0}}$.

\subsection{}
Résoudre l'équation : $(3x-7)(5x+3)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $3x-7=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{3}$

\item Deuxième cas : $5x+3=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{5}$
\end{enumerate}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{5}~;~\dfrac{7}{3}\right)}}$


\subsection{}
On veut résoudre l'équation \[(5x+8)(3x-1)-\left(9x^2-6x+1\right)=0.\]
\begin{enumerate}[a)]
\item %Factoriser $9x^2-6x+1$.
$9x^2-6x+1=(3x)^2-2\times 3x\times 1+1^2=\boxed{\textcolor{red}{(3x-1)^2}}$

\item %En déduire que l'équation s'écrit $(3x-1)(2x+9)=0$.
L'équation s'écrit : \\
$(5x+8)(3x-1)-\left(9x^2-6x+1\right)=0\\
\Leftrightarrow (5x+8)(3x-1)-(3x-1)^2=0\\
(3x-1)\left[(5x+8)-(3x-1)\right]=0\\
\Leftrightarrow (3x-1)(5x+8-3x+1)=0\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{(5x+8)(2x+9)=0}}$

\item %Résoudre cette équation.
On applique le théorème du produit nul :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $5x+8=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{8}{5}$

\item $2x+9=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{9}{2}$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{9}{2}~;~-\dfrac{8}{5}\right)}}$.
\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  