\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : TD \no  23 (fonctions inverse et racine carrée)}}\end{center}




\subsection{}
On considère la fonction inverse notée $f$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est donnée ci-dessous :
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-5)(6,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-6,-5)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-6,-5)(6,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-6.0}{-0.1}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{0.1}{6}{1/x}
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Graphiquement et sans justification, donner l’image par la fonction $f$ des intervalles suivants :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f\left([1~;~2]\right)=\boxed{\textcolor{red}{\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]}}$ ; en effet, $f$ est décroissante sur $]0~;~+\infty[$, $f(2)=\dfrac{1}{2}$ et $f(1)=1$

\item $f\left(\left]-3~;~-\dfrac{1}{2}\right[\right)\boxed{\textcolor{red}{=\left]-2~;~-\dfrac{1}{3}\right)}}$

\item $f\left(\left[\dfrac{1}{4}~;~4\right[\right)=\left[\dfrac{1}{4}~;~4\right]$ car $f\left(\dfrac{1}{4}\right)=4$ et $f(4)=\dfrac{1}{4}$
\end{enumerate}


\subsection{}
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction racine carrée :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(7,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(7,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{7}{sqrt(x)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](4,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,0)(3,3)
\uput[u](4,2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Sur ce graphique, tracer la droite représentative de la fonction $g$ définie par $g(x)=x$.
$g$ est linéaire, donc la droite passe par l'origine et $g(3)=3$ donc la droite passe par le point de coordonnées (3~;~3).

\item %En déduire s'il existe des nombres égaux à leur racine carrée.
Des nombres $x$ sont égaux à leurs racines carrées se traduit par $x$ est solution de l'équation $\sqrt{x}=x$.\\
Si de tels nombres existent, il sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.\\
On voit que c'est le cas pour $x=0$ et $x=1$.\\
0 et 1 sont égaux à leurs racines carrées.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarquer : }} on voit, d'après les courbes, que $\sqrt{x}\geqslant x$ pour $x\in[0~;~1]$ et $0\leqslant \sqrt{x}\leqslant x$ pour $x\geqslant 1$.
\end{enumerate}


\subsection{}
%Comparer, sans calculatrice, les nombres $\sqrt{2,34}$ et $\sqrt{2,35}$.
La fonction $x : x\mapsto \sqrt{x}$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$ donc conserve l'ordre ; 2,34<2,35.\\
Donc : $\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2,34}<\sqrt{2,35}}}$

\subsection{}
On lâche un corps en chute libre à une hauteur $h$ du sol. En supposant qu’il n’est soumis à aucun frottement,
la vitesse $v$ (en m/s) au moment de l’impact avec le sol est donnée par $v = \sqrt{2gh}$ , où $h$ est en mètre.\\
On donne $g = 9,81\si{\meter\per\square\second}$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la vitesse en \si{\meter\per\second}, puis en \si{\kilo\meter\per\hour}, au moment de l’impact avec le sol lorsque h = 50\si{\meter}.
Si $h=50$, $v=\sqrt{2\times 9,81\times 50}=\sqrt{100g}\approx \sqrt{100\times 9,81}=\sqrt{981}\approx\boxed{\textcolor{red}{ 31,32}}$.m/s.\\
$v=\dfrac{31,02}{1000}\times \numprint{3600}\approx \boxed{\textcolor{red}{112,8}}$ km/h

\item %De quelle hauteur h faut-il lâcher l’objet en chute libre pour que sa vitesse soit supérieure à 180 km/h au moment de l’impact avec le sol ?
180 km/h = $\dfrac{\numprint{180000}}{\numprint{3600}}=50$ m/s.\\
On doit résoudre l'inéquation : $v\geqslant 50$ donc $\sqrt{2gh}\geqslant 50$.\\
Comme la fonction carré est croissante sur l'ensemble des nombres positifs, cela équivaut à :\\
$\sqrt{2gh}^2\geqslant 50^2$ donc $2gh\geqslant \numprint{2500}$ sd'où $h\geqslant \dfrac{\numprint{2500}}{2g}=\dfrac{\sqrt{\numprint{2500}}}{2\times 9,81}=\dfrac{\sqrt{\numprint{2500}}}{19,62}\approx \boxed{\textcolor{red}{127,4}}~\si{\meter}$.\\
Pour dépasser 180 km/h en chute libre, il faut lâcher l'objet d'une hauteur supérieure à 127,4 m environ.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Oscillation d’un pendule}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On appelle pendule simple un objet suspendu à une ficelle. On l'écarte de la verticale et on regarde les oscillations.\\
 La période $T$ (en seconde) d'un pendule simple, c'est-à-dire la durée d’une oscillation de celui-ci, peut être exprimée en fonction de sa longueur $\ell$ (en mètre) par : $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.\\
On donne $g = 9,81\si{\meter\per\square\second}$
\begin{enumerate}
\item %Calculer la période $T$ d’un pendule de longueur 5 m, en arrondissant à 0,1 s.
Pour $\ell=5$ m, on trouve : $T=2\pi\sqrt{\dfrac{5}{9,81}}\approx \boxed{\textcolor{red}{4,5}}$ s

\item %Calculer la longueur $\ell$ d’un pendule dont la période vaut 10 s. Arrondir à 1 cm.
$T=10$ équivaut à $2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}=10$ donc $\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}=\dfrac{10}{2\pi}=\dfrac{5}{\pi}$.\\
Alors : $\dfrac{\ell}{g}=\left(\dfrac{5}{\pi}\right)^2=\dfrac{25}{\pi^2}$ d'où $\ell=\dfrac{25}{\pi^2}\times g=\dfrac{25}{\pi^2}\times 9,81\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{24,85}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Deux pendules A et B ont pour longueurs respectives 5 m et 10 m. Comparer leurs périodes.
$T_A=2\pi\sqrt{\dfrac{5}{g}}$ et $T_B=2\pi\sqrt{\dfrac{2\times 5}{g}}$.\\
On a : $T_B=2\pi\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}{\sqrt{g}}=\sqrt{2}\times 2\pi\sqrt{\dfrac{5}{g}}=\sqrt{2}T_A$.\\
Le pendule B a une longueur double de celle de A ; sa période est $\sqrt{2}$ fois celle du pendule A.

\item %D’une façon générale, un pendule A a une longueur inférieure à celle d’un pendule B.\\
%Quel pendule a la période la plus grande ?
Soient $\ell_A$ et $\ell_B$ les longueurs des deux pendules.\\

\columnbreak
On suppose que $\ell_A\leqslant \ell_B$.\\
On a successivement :\\
$\ell_A\leqslant \ell_B\$\
$\dfrac{\ell_A}{g}\leqslant \dfrac{\ell_B}{g}$ (en divisant les deux membres par un nombre positif)\\
$\sqrt{\dfrac{\ell_A}{g}}\leqslant \sqrt{\dfrac{\ell_B}{g}}$ en appliquant la fonction racine carrée, croissante.\\
$2\pi\sqrt{\dfrac{\ell_A}{g}}\leqslant 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell_B}{g}}$ en multipliant par $2\pi$.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{T_A\leqslant T_B}}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion :} } plus le pendule est court, plus la période est petite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : Au Panthéon se tourne le pendule de Foucault : une masse assez lourde est suspendue au plafond par un fil de 67 m, qui correspond à une période (durée d'un aller-retour) de 16,42 s.\\
Les lois de la physique montrent que le plan vertical dans lequel oscille le pendule est fixe par rapport à un \og{}référentiel galiléen\fg{}, en gros l'espacé, alors que la Terre tourne sur elle-même. On voit donc que le plan d'oscillation tourne par rapport à un disque tracé au sol et cette rotation complète dure à Paris \\
31 h 47 min (elle dépend de la latitude) et vaudrait 24 h aux pôles.\\
La rotation ne se fait pas dans le même sens dans l'hémisphère Nord et dans l'hémisphère Sud ; elle est nulle à l'équateur.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  