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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no  22 (fonction inverse)} }\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{}
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction inverse $f~:~x\mapsto \dfrac{1}{x}$:

\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-7)(5,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-7)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.7pt](-5,-7)(5,7)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-5.0}{-0.05}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.05}{5}{1/x}
%\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{5}{2*x-5}
\uput[dl](-4,-0.25){$\mathscr{C}_f$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{-3}{5}{2*x-5}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,-5)(5,5)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Tracer sur ce graphique la courbe représentative de la fonction affine $g$ définie par $g(x)=2x-5$.
$g$ est une fonction affine, dont la représentation graphique est une droite $\mathscr{D}_g$.\\
Pour tracer cette droite, on a besoin de deux points dont il suffit de calculer les coordonnées. On choisit deux valeurs de $x$ et on calculer les valeurs de $y$ correspondantes :

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&5\\
\hline
g(x)=2x-5&-5&5\\
\hline
\end{array}$

Le droite $\mathscr{C}_g$ passe donc par les points de coordonnées $(0~;~-5)$ été $(5~;~5)$ (voir graphique)

\item %En déduire les solutions approchées de l'équation $\dfrac{1}{x}=2x-5$
L'équation $\dfrac{1}{x}=2x-5$ équivaut à $f(x)=g(x)$.\\
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection des eux courbes.\\
On voit qu'il y a deux solutions.\\
Graphiquement, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{x_1\approx -0,2}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{x_2\approx 2,6}}$.

\item Les solutions exactes sont $\dfrac{5-\sqrt{33}}{4}$ et $\dfrac{5+\sqrt{33}}{4}$% ; vérifier que l'on retrouve les valeurs approchées trouvés à la question précédente.\\
À la calculatrice, on trouve $x_1\approx -0,186$ et $x_2\approx 2,686$. On retrouve les valeurs lues graphiquement.
\end{enumerate}

\subsection{}
Donner les images des intervalles suivants par la fonction inverse $x\mapsto \dfrac{1}{x}$. (On pourra s'aider du graphique précédent)


\begin{enumerate}[a)]
\item Cherchons l'image de $]-4~;~-1[$.\\
$x\in]-4~;~-1[$ équivaut à $-4\leqslant x\leqslant -1$.\\
Graphiquement, on cherche les ordonnées des points de l'hyperbole dont l'abscisse est comprise entre $-4$ et $-1$.\\
On trouve $-1\leqslant \dfrac{1}{x}\leqslant -1$ donc l'image de $]-4~;~-1[$ est $\boxed{\textcolor{red}{\left[-1~;~-\dfrac{1}{4}\right]}}$

\item 
Cherchons l'image de $\left[2~;~\dfrac{5}{2}\right]$ ; l'inverse de 2 est $\dfrac{1}{2}$ ; celui de $\dfrac{5}{2}$ est $\dfrac{2}{5}$.\\
On trouve que l'image de $\left[2~;~\dfrac{5}{2}\right]$ est $\left[\dfrac{2}{5}~;~\dfrac{1}{2}\right]$ donc $[0,4~;~0,5]$

\bigskip
On peut aussi raisonner autrement.\\
La fonction inverse $f$ est décroissante sur $]0~;~+\infty[$.\\
$2\leqslant x\leqslant \dfrac{5}{2}$ donc $f(2)>f(x)>f\left(\dfrac{5}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant \dfrac{2}{5}}}$

\end{enumerate}



\subsection{}
Donner les solutions des inéquations suivantes :


\begin{enumerate}[a)]
\item $\dfrac{1}{x}\geqslant 1$.\\
On cher he graphiquement les abscisses des points de l'hyperbole dont l'ordonnée est inférieure ou égale à 1.\\
On trouve $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~0[ \cup ]1~;~+\infty[}}$.

\item $\dfrac{1}{x}<-3$ a pour solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\dfrac{1}{3}~;~0\right[}}$.

\item $\dfrac{1}{x}>7$ a pour solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]0~;~\dfrac{1}{7}\right[}}$.	
\end{enumerate}



\subsection{}


\begin{enumerate}

\item On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par : \\
$f(x)=\dfrac{2}{x}$ pour tout $x\neq 0$ et $g(x)=2x-3$ sur $\mathbb{R}$.\\
$\mathscr{C}_f$ est tracée dans le repère ci-dessous.\\
%Tracer la courbe $\mathscr{C}_g$ représentative de $g$.
La courbe $\mathscr{C}_g$ représentative de $g$ est une droite, représentée sur le graphique.

\item %Vérifier que les points $A(2~;~1)$ et $B\left(-\dfrac{1}{2}~;~-4\right)$ sont communs aux deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\left(x_A\right)=f(2)=\dfrac{2}{2}=1=y_A$ donc $A\in\mathscr{C}_f$.

\item $g\left(x_A\right)=g(2)=\dfrac{2}{2}=1=y_A$ donc $A\in\mathscr{C}_g$.
\end{enumerate}

\bigskip
De même : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\left(x_B\right)=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2}{-\frac12}=-4=y_B$ donc $B\in\mathscr{C}_f$.

\item $g\left(x_B\right)=g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)-3=-4=y_B$ donc $B\in\mathscr{C}_g$.
\end{enumerate}


\item %En déduire, graphiquement, les solutions de l’inéquation $f(x)\leqslant g(x)$.
Les solutions de l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$ sont les abscisses des points de $\mathscr{C_f}$ situés en dessous de $\mathscr{C}_g$.\\
On trouve $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[-\dfrac{1}{2}~;~0\right[ \cup \left[2~;~+\infty\right[}}$.
\end{enumerate}




\begin{center}
\psset{unit=0.9,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-7)(5,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-7)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-5,-7)(5,7)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-5.0}{-0.05}{2/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.05}{5}{2/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{5}{2*x-3}
\psdots[dotstyle=+, dotangle=45,dotscale=3](-0.5,-4)(2,1)
\uput[ur](2,1){A}\uput[ul](-0.5,-4){B}
\uput[dl](-4,-0.25){$\mathscr{C}_f$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}





\subsection{}%http://site.math.free.fr/premiere_stg/cours_premiere_stt/fonction_inverse.pdf
Un animateur organise un voyage pour $x$ personnes où $x\in[ 5~;~50]$ ($x$ n’est pas encore fixé).\\
Le transporteur facturera 100 euros de forfait plus 5 euros par personne.
%Montrer que le coût unitaire (coût par personne) est  donné par $C_u(x) = \dfrac{100}{x} + 5$ où $C_u$ est en euros.
Le coût unitaire est $C_u(x)=\dfrac{C(x)}{x}=\dfrac{100+5x}{x}=\dfrac{100}{x}+\dfrac{5\cancel{x}}{\cancel{x}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{100}{x}+5}}$

\begin{enumerate}[a]
\item %Détailler les calculs de $C_u(5)$ et $C_u(10)$ et en déduire s’il vaut mieux qu’il y ait 5 ou 10 personnes si chacun veut payer le moins cher possible.
$C_u(5)=\dfrac{100}{5}+5=20+5=\boxed{\textcolor{red}{25}}$.\\
$C_u(10)=\dfrac{100}{10}+5=10+5=\boxed{\textcolor{red}{15}}$.\\
Le coût unitaire est moindre (plus faible) pour 10 personnes que pour 5.

\newpage


\item on donne ci-dessous la courbe de la fonction $C_u$ :

\psset{xunit=.3,yunit=.35,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-2)(50,25)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=5,Dy=5,Ox=5]{->}(0,0)(0,0)(50,25)
\multido{\n=5+5}{10}{\psline(\n,0)(\n,25)}
\multido{\n=0+1}{26}{\psline(0,\n)(50,\n)}
\multido{\n=0+5}{6}{\psline[linewidth=2pt](0,\n)(50,\n)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0.2}{50}{5+100/(x+5)}
\uput[u](15,10){$\mathscr{C}$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](0,10)(15,10)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](15,10)(15,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](0,7.5)(35,7.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](35,0)(35,7.5)
\uput[l](0,7.5){7.5}
\end{pspicture}

\item %Déterminer graphiquement et algébriquement le nombre de personnes qui assure un coût unitaire de 10 euros, en déduire la recette réalisée par le transporteur.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Graphiquement, le coût unitaire de 10 \euro{} est obtenu pour la valeur $x$ de l'abscisse du point de la courbe ayant une ordonnée égale à 10. On trouve $x=20$.

\item Algébriquement, on résout l'équation $C_u(x)=10$.\\
$\dfrac{100}{x}+5=10$ équivaut à $\dfrac{100}{x}=5$ donc $100=5x$ d'où $x=\dfrac{100}{5}=\boxed{\textcolor{red}{20}}$.
\end{enumerate}

\item %Déterminer graphiquement et algébriquement le nombre de personnes qui assure un coût unitaire de 5 euros.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Graphiquement, le coût unitaire de 5 \euro{} est obtenu pour la valeur $x$ de l'abscisse du point de la courbe ayant une ordonnée égale à 5. On voit qu'il n'y a pas de solution.

\item Algébriquement, on résout l'équation $C_u(x)=5$.\\
$\dfrac{100}{x}+5=5$ équivaut à $\dfrac{100}{x}=0$ qui n'est pas possible, car, pour tout $x>0$, $\dfrac{100}{x}>0$.
\end{enumerate}


\item %Déterminer graphiquement l’intervalle qui assure un coût unitaire de strictement moins de 7,5 euros.
Graphiquement, on voit qu'on a un coûut unitaire de 7,5 \euro{} pour $40$ personnes.\\
Le coût unitaire est strictement plus petit que 7,5 \euro{} pour $x\in]40~;~+\infty[$ (don plus der 40 personnes).

\item %Montrer que $C_u(x) < 7, 5 \Leftrightarrow  100 - 2, 5x < 0$ et retrouver algébriquement l’intervalle précédent.\\
$C_u(x)<7,5$ équivaut à $\dfrac{100}{x}+5<7,5$ donc $\dfrac{100}{x}<2,5$ donc, en appliquant la fonction inverse, décroissante sur $]_0~;~+\infty[$ :\\
$\dfrac{x}{100}>\dfrac{1}{2,5}$ donc $\dfrac{x}{100}>\dfrac{1}{2,5}=\dfrac{4}{10}=0,4$ d'où, en  multipliant par 100 : $\boxed{\textcolor{red}{x>40}}$

\item %Résoudre graphiquement et algébriquement l’inéquation $C_u(x) > 9$ et donner une interprétation de ce résultat.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Graphiquement, $C_u(x)>9$ pour $\boxed{\textcolor{red}{x>25}}$.

\item Algébriquement : \\
$C_u(x)>9$ équivaut à $\dfrac{100}{x}+5>9$ donc $\dfrac{100}{x}>9-5=4$ d'où $\dfrac{x}{100}<\dfrac{1}{4}$ qui donne :\\
$x<\dfrac{100}{4}=25$.\\
Le coût unitaire est strictement supérieur à 9 \euro{} si le nombre de passagers est strictement inférieur à 25.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  