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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TD \no 2 : correction des exercices de révision (ensemble de nombres, théorème de Thalès, )}}\end{center}


\subsection{}
Indiquer, dans chacun des cas, si le nombre appartient ou pas à chacun des ensembles proposés (compléter les cases par $\in$ ou $\notin$).
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&$\mathbb{N}$&$\mathbb{Z}$&$\mathbb{D}$&$\mathbb{Q}$&$\mathbb{R}$\\
\hline
3&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$\dfrac{18}{3}=6$&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$2\times 10^{-2}=0,02$&$\notin$&$\notin$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$\dfrac{22}{5}=\dfrac{44}{10^1}=4,4$&$\notin$&$\notin$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$-\dfrac{28}{4}=7$&$\notin$&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$\dfrac{5}{6}$&$\notin$&$\notin$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$\sqrt{1,44}=1,2$&$\notin$&$\notin$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$-\sqrt{64}=-8$&$\notin$&$\in$&$\in$&$\in$&$\in$\\
\hline
$\pi$&$\notin$&$\notin$&$\notin$&$\notin$&$\in$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%Dans chacun des cas, indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre appartient.\\
$a=\dfrac{125}{5}=25\in\mathbb{N}$\\\\
$b=\dfrac{7}{5}=\dfrac{14}{10}=1,4\in\mathbb{D}$\\\\
$c=\dfrac{21}{12}=\dfrac{7}{4}=1,75\in\mathbb{D}$\\\\
$d=-\dfrac{35}{7}=-5\in\mathbb{Z}$\\\\
$e=\sqrt{2}\in\mathbb{R}$\\\\
$f=\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}$


\end{multicols}

\subsection{}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

ABCD est un rectangle tel que AB =8 cm et \\
AC =10 cm.\\
E est le point sur [AB] tel que BE =2 cm.\\
La perpendiculaire à (AB) passant par E coupe (AC) en F.

 
\begin{center}

\psset{xunit=0.7,yunit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,7)
\uput[u](4,6){Figure}
\psframe(8,6)
\psarc(0,0){7}{0}{50}
\psline(8,6)
\psline(6,0)(6,4.5)
\uput[d](0,0){$A$}\uput[d](8,0){$B$}\uput[u](8,6){$C$}\uput[u](0,6){$D$}\uput[d](6,0){$E$}\uput[u](6,4.5){$F$}
\psframe(7.75,0)(8,0.25)
\psframe(6,0)(6.25,0.25)
\uput[d](4,0){$AB=8$}
\uput[d]{40}(4,3){$AC=10$}
\uput[d](7,0){$BE=2$}

\end{pspicture}
\end{center}

\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item

\item %Calculer la longueur EF.
Les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires à la même droite, donc elles sont parallèles.\\
Les triangles $AEF$ et $ABC$ sont formés par des droites parallèles ; on peut appliquer le théorème de Thalès.
\begin{center}

$\begin{array}{|*{4}{c|}}\hline
\text{Triangle} AEF&AE&EF&AF\\
\hline
\text{Triangle} ABC&AB&BC&AC\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
C'est un tableau de proportionnalité, donc : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AF}{AC}}}$.\\
On en déduit : $\dfrac{6}{8}=\dfrac{EF}{BC}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{3}{4}}}$.\\
Il faut calculer $BC$. On utilise le théorème de Pythagore :\\
$BC^2=AC^2-AB^2=10¨2-8^2=35$ donc $\boxed{\textcolor{red}{BC=6}}$.\\
Alors : $EF=\dfrac{3}{4}\times BC=\dfrac{3}{4}\times 6=\dfrac{9}{2}=4,5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{EF=\dfrac{9}{2}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
\parbox{8cm}{\begin{pspicture}(0,-1)(6,3)
\pspolygon(0,0)(5.3,0)(2,2.6)
\psline(2,2.6)(2,0)
\psline(0.8,1)(4.1,1) 
\uput[u](2,2.6){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](5.3,0){C} 
\uput[ur](2,1){D} \uput[d](2,0){H} \uput[ul](0.8,1){M} \uput[ur](4.1,1){N}

\end{pspicture}}\hfill
\parbox{10cm}{On donne la figure ci-dessus dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées.

Les longueurs réelles sont :
 
AM = 9 cm, MB = 6 cm
  
BH = 9 cm,  HC =  16 cm
   
AC =  20 cm}

\bigskip

Les droites (MN) et (AH) sont perpendiculaires, ainsi que les droites (BC) et (AH).

 Les questions sont indépendantes. 
\begin{enumerate}
\item   %Calculer la longueur AH en justifiant ce calcul.
\textbf{\textcolor{blue}{Calcul de la longueur AH}} :\\
Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$. On applique le théorème de Pythagore :\\
$AH^2=AB^2-BH^2=15^2-9^2=225-81=144$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AH=\sqrt{144}=12}}$.

\item  %Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$ ; en déduire une valeur approchée au degré près de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$.\\
Dans le triangle $ABH$, on a : $\cos\left(\widehat{ABH}\right)=\dfrac{\text{côté adjacent à }\widehat{ABH}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{9}{15}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}}}$.\\
Avec une calculatrice, on trouve $\widehat{ABH}\approx 53$ \degre, à un degré près

\item   %Justifier que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Calculer la longueur MD en justifiant ce calcul.
$(MN)$ et $(BC)$ sont perpendoiculaires à une même droite, donc elles sont parallèles.\\
On peut alors appliquer le théorème de Thalès :\\
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MD}{BH}$ donc $\dfrac{9}{15}=\dfrac{MD}{9}$ d'où $MD=\dfrac{9}{15}\times 9=\dfrac{3}{5}\times 9=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{27}{5}}}$.

\item   %Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifier la réponse.
$AB=15$ ; $BC=25$ et $AC=20$.\\
Le plus grand côté du triangle $ABC$ est $BC=25$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $BC^2=25^2=625$.

\item $AB^2+AC^2=15^2+20^2=225+400=625$
\end{enumerate}
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{BC^2=AB^2+AC^2}}$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en $A$.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  
