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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD  \no 13 sur les développements et identités remarquables}}\end{center}



\subsection{}
%Simplifier $a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)$ pour des nombres $a$, $b$ et $c$ quelconques.
$a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=ab-ac+bc-ab+ac-bc=\boxed{\textcolor{red}{0}}$


\subsection{}
Développer les expressions suivantes :


\begin{enumerate}[$A(x)=~$]
\item $(-4 x-2) (6 x-1)=-24x^2+4x-12x+2=\boxed{\textcolor{red}{-24x^2-8x+2}}$.

\item $(-4 x-5) (3 x+5)=-12x^2-20x-15x-25=\boxed{\textcolor{red}{-12x^2-35x-25}}$.

\item $(4-5 x) (2 x+7)=8x+28-10x^2-35x=-10x^2=\boxed{\textcolor{red}{-10x^2-27x+28}}$.

\item $6(7-9 x) (-8 x-9)=6\left[-56x-63+72x^2+81x\right]=6\left(72x^2+25x-63\right)=\boxed{\textcolor{red}{432x^2+150x-378}}$.

\item $-5(-9 x-5) (-6 x-10)=-5\left[54x^2+90x+30x+50\right]=-5\left(54x^2+120x+50\right)$=\boxed{\textcolor{red}{-270x^2-600x-250}}.

\item $(5 x+5) (8 x-5)+(-10 x-2) (9-6 x)=\left[40x^2-25x+40x-25\right]+\left[-90x+60x^2-18+12x\right]\\
=\left[40x^2-15x-25\right]+\left[60x^2-78x-18\right]\\
=40x^2+15x-25+60x^2-78x-18\\
=\boxed{\textcolor{red}{100x^2-63x-43}}$.

\end{enumerate}




\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Développer : $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$
$\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=\left(\sqrt{3}\right)^2-\sqrt{2}^2=3-2=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item %En utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2$, développer $(a+b)^3$.
$(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)\left(a^2+2ab+b^2\right)=a^3+2ab^2+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=\boxed{\textcolor{red}{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}}$

\item %En déduire le développement de $(a-b)^3$
$(a-b)^3=(a+(-b))^3=a^3+3a^2\times (-b)+3a\times (-b)^2+(-b)^3=\boxed{\textcolor{red}{a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}}$

\item %Développer $(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$
$(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=\boxed{\textcolor{red}{a^3-b^3}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Développer les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\left (\sqrt{x}+\sqrt{y}\right )\left (\sqrt{x}-\sqrt{y}\right )=\sqrt{x}^2-\sqrt{y}^2=\boxed{\textcolor{red}{x-y}}$

\item $\left(x^2+y^2\right)^2=\left(x^2\right)^2+2x^2y^2+\left(y^2\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{x^4+2x^2y^2+y^4}}$

\item $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2$ (pour tout $x\neq 0$)\\
$=x^2+2\times x\times \dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Développer et réduire les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A(x)=$]
\item $(x+4)^2-(x+3)(x-4)$

\item $(x+4)(2x+5)+(2x-1)^2$

\item $(4x-7)^2-(3x+1)^2$
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  