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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ 2\up{nde}: correction du TD \no 12 (fonctions affines)}}\end{center}



\subsection{}
Les fonctions $f$ et $g$ sont définies pour tout réel $x$ par $f(x) = x - 2$ et $g(x) = -2x + 3$. 

\begin{enumerate}
\item Représentons dans un même repére les fonctions $f$ et $g$.\\
Pour chacune des droites représentatives de ces fonctions affines, il suffit de trouver les coordonnées de deux points.\\
Renseignons des tableaux de valeur.\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&2\\
\hline
f(x)=x-2&-2&0\\
\hline
\end{array}$

\bigskip
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&3\\
\hline
g(x)=-2x+3&3&-3\\
\hline
\end{array}$


\end{multicols}\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-4)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-4)(4,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2}{4}{x-2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-0.5}{3.5}{-2*x+3}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,-2)(2,0)(0,3)(3,-3)
\uput[u](3,1){$\mathscr{C}_f$}\uput[r](0,3){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture}

\end{center}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la valeur exacte du réel $a$ qui a la même image par $f$ et par $g$, puis calculer $f(a)$.\\
$a$ a la même image par $f$ et par $g$ s'il est solution de l'équation $f(x)x=g(x)$.\\
$f(x)=g(x)$ équivaut à $x-2=-2x+3$ donc $x+2x=3+2$, c'est-à-dire $3x=5$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{5}{3}}}$.\\
$\dfrac{5}{3}$ ont la même image par $f$ et par $g$.\\
Cette image vaut $f\left(\dfrac{5}{3}\right)$ ou $g\left(\dfrac{5}{3}\right)$.\\
$f\left(\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{5}{3}-2=\dfrac{5}{3}-\dfrac{6}{3}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3}}}$

\item %Comment peut-on vérifier ce résultat graphiquement? 
Cela correspond à l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Représentons dans un même repére les fonctions affines $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : 
\[f(x) = \dfrac{x}{3} +\dfrac{5}{3}\text{ et }g(x) =-\dfrac{1}{2}x. \]
Remarquons que $f(x)=\dfrac{x+5}{3}$.\\
Tableaux de valeurs :


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&1&4\\\hline
f(x)=\dfrac{x+5}{3}&2&3\\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&4\\
\hline
g(x)=\dfrac{1}{2}x&0&2\\
\hline
\end{array}$
\end{multicols}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-2)(11,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-2)(11,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-2)(11,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{11}{(x+5)/3}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{11}{x/2}
\uput[u](1,2){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](6,3){$\mathscr{C}_g$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](10,5)
\end{pspicture}

\end{center}
\item Résoudre algébriquement les équations et inéquations suivantes : 

\begin{enumerate}
\item $f(x) = 0$ équivaut à $\dfrac{x+5}{3}=0$ donc $x+5=0$ d'où $x=-5$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5\}}}$

\item $f(x) = g(x) $ équivaut à $\dfrac{x}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{x}{2}$ donc $\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2}=-\dfrac{5}{3}$.\\
Donc : $\dfrac{2x-3x}{6}=-\dfrac{5}{3}$ c'est-à-dire $-\dfrac{x}{6}=-\dfrac{5}{3}$.\\
Alors : $x=-6\times \left(\dfrac{5}{3}\right)=10$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{10\}}}$

\item $f(x)\geqslant g(x)$ donne, d'après ce qui précède, $x\geqslant 10$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[10~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}

\item %Interpréter graphiquement les résultats de la question 2. 
La courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$ pour $x\geqslant 10$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Étudier le signe des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=3x+7$\\
$3x+7=0$ pour $x=-\dfrac{7}{3}$. Le coefficient directeur de $f$ est $3>0$, donc $f$ est croissante.\\
Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{7}{3}&&\pI\\
\hline
f(x)&&-&\z&=&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $g(x)=-11x+3$.\\
$-3x+11=0$ donne $-3x=-11$ d'où $x=\dfrac{11}{3}$. Le coefficient directeur est $-11<0$, donc $g$ est décroisante. \\
Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{11}{3}&\pI\\
\hline
g(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
$f$ est une fonction affine dont on donne le tableau de signes ci-dessous ;
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}[a)]
\item %Que vaut $f(-2)$ ?
On a $\boxed{\textcolor{red}{f(-2)=0}}$.

\item %Quel est le signe de $f(3)$ ?
$3\in]-2~;~+\infty[$ et $f(x)> 0$ sur cet intervalle donc $\boxed{\textcolor{red}{f(3)>0}}$

\item %Quel est le signe de $f(-10)$ ?
$-10\in]-\infty~;~-2[$ et $f(x)<0$ sur cet intervalle donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-10)<0}}$

\item %Quel est le signe de $f(0)$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{f(0)>0}}$ car $0>-2$
\end{enumerate}

\subsection{}
En France, les températures sont mesurées en degrés Celsius (\degre C).

Les pays anglo-saxons utilisent le degré Fahrenheit (\degre F).

La fonction $f$ qui, à une température $x$ en degrés Celsius, associe cette température en degrés Fahrenheit est une fonction affine telle que : 0\degre C = 32 \degre F et 100\degre C = 212\degre F.


\begin{enumerate}
\item %Déterminer la fonction $f$.
$f$ est affine donc il existe $m$ et $p$ tels que $f(x)=mx+p$.\\
$f(0)=32$ donc $m\times 0+p=32$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{p=32}}$.\\
On en déduit : $f(x)=mx+32$.\\
$f(100)=212$ donc $100m+32=212$ donc $100m=180$ et $m=\dfrac{180}{100}=\dfrac{9}{5}$.\\
On a : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{9}{5}x+32}}$

\item %Déterminer la fonction affine $g$ qui permet de passer des degrés Fahrenheit aux degrés Celsius.
$g$ est affine donc $g(x)=m'x+p'$.\\
$\begin{cases}g(32)=0\\g(212)=100\end{cases}$ donc $\begin{cases}32m'+p'=0\\212m'+p'=100\end{cases}$.\\
En soustrayant les deux lignes, il vient :\\
$212m'-32m'=100$ donc $180m'=100$ d'où $m'=\dfrac{100}{180}=\dfrac{5}{9}$.\\
Alors : $g(x)=\dfrac{5}{9}x+p'$.\\
$g(32)=0$ équivaut à $\dfrac{5}{9}\times 32+p'=0$ donc $p'=-\dfrac{160}{9}$.\\
Donc : $g(x)=\dfrac{5}{9}x-\dfrac{160}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5x-160}{9}}}$

\item %Laquelle des deux températures, 25\degre C et 75\degre F, est la plus élevée?
$f(25)=\dfrac{9}{5}\times 25+32=45+32=77$ donc 25 \degre C=77 \degre F.\\
25 \degre C est une température plus élevée que 75 \degre F.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  