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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du TD \no 10 : fonctions affines (1)}}\end{center}


\subsection{}
Parmi les expressions suivantes, quelles sont celles de fonctions affines ?
linéaires ? On précisera alors leurs coefficients directeurs et leurs ordonnées à l'origine.

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\sqrt{5}x-\dfrac{1}{7}$.\\
$\sqrt{5}x-\dfrac{1}{7}=mx+p$ avec $m\sqrt{5}$ et $p=-\dfrac{1}{7}$ donc $f$ est affine.

\item $g(x)=\sqrt{3x+5}$ ; $g(x)\neq mx+p$ donc $g$ n'est pas affine (et $g$ n'est pas définie sur $\mathbb{R}$ car $3x+5<0$ pour $x<-\dfrac{5}{3}$ ; or une fonction affine est définie sur $\mathbb{R}$).

\item $h(x)=\pi x$ ; $h$ est linéaire car $\pi x=mx+p$ avec $m=\pi$ et $p=0$

\item $k(x)=\dfrac{1-3x}{2x-5}$ ; $k(x)\neq mx+p$ donc $k$ n'est pas affine (d'ailleurs, $k$ n'est pas définir sur $\mathbb{R}$ puisque le dénominateur s'annule en $\dfrac{5}{2}$)

\item $\ell(x)=2(x-\sqrt{7})-2x$ : $\ell(x)=2\cancel{}x-2\sqrt{7}-\cancel{2x}=2\sqrt{7}$.\\
$\ell$ est une fonction constante, donc affine, avec un coefficient directeur $m=0$ et $p=2\sqrt{7}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f : x\mapsto 13x-7$ une fonction affine.
\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image de 3 par $f$ ?
L'image de 3 par $f$ est $f(3)=13\times 3-7=39-7=\boxed{\textcolor{red}{32}}$.

\item %Quel est l'antécédent de 5 par $f$ ?
Un antécédent de 5 par $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x)=5$.\\
$f(x)=5$ donne $13x-7=5$ donc $13x=12$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{12}{13}}}$.\\
L'antécédent de 5 par $f$ est $\dfrac{12}{13}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f : x\mapsto \dfrac{3}{7}x-4$.\\
%Calculer $f(0)$, $f(7)$, $f(21)$ et $f(5)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=\dfrac{3}{7}\times 0-4=0-4=\boxed{\textcolor{red}{-4}}$

\item $f(7)=\dfrac{3}{\cancel{7}}\times \cancel{7}-4=3-4=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$

\item $f(21)=\dfrac{3}{7}\times 21-4=\dfrac{3\times 3\times \cancel{7}}{\cancel{7}}-4=9-4=\boxed{\textcolor{red}{5}}$

\item $f(5)=\dfrac{3}{7}\times 5-4=\dfrac{15}{7}-4=\dfrac{15}{7}-\dfrac{28}{7}=\dfrac{15-28}{7}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{13}{7}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit la fonction affine $f : x\mapsto 3x-5$.\\
%Calculer les images de $\dfrac{3}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, 0 et $-\dfrac{4}{3}$ par cette fonction.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\left(\dfrac{3}{2}\right)=3\times \dfrac{3}{2}-5=\dfrac{9}{2}-5=\dfrac{9}{1}-\dfrac{10}{2}=\dfrac{9-10}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}}$.

\item $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\cancel{3}\times \dfrac{1}{\cancel{3}}-5=1-5=\boxed{\textcolor{red}{-4}}$

\item $f(0)=3\times 0-5=0-5=\boxed{\textcolor{red}{-5}}$

\item $f\left(-\dfrac{4}{3}\right)=3\times \left(-\dfrac{4}{3}\right)-5=-\cancel{3}\times \dfrac{4}{\cancel{3}}-5=-4-5=\boxed{\textcolor{red}{-9}}$

\end{enumerate}
\subsection{}
Ci-dessous sont représentées trois fonctions affines $f$, $g$ et $h$, dont les droites représentatives sont $\mathscr{D}_f$, $\mathscr{D}_g$ et $\mathscr{D}_h$.
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(6,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-3)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-3)(6,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2}{6}{3-2*x/3}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1}{3}{2*x-1}
\psplot[linewidth=2pt]{-3}{6}{x/7+1}
\uput[ul](-1,3.8){$\mathscr{D}_f$}
\uput[r](2,3){$\mathscr{D}_g$}
\uput[u](5,1.71){$\mathscr{D}_h$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ordonnée à l'origine de $\mathscr{D}_f$ est 3.

\item L'ordonnée à l'origine de $\mathscr{D}_g$ est -1.

\item L'ordonnée à l'origine de $\mathscr{D}_h$ est 1.
\end{enumerate}

\subsection{}
Déterminer la fonction linéaire $f$  telle que : \\
$f(3) = 4$.\\
Puisque $f$ est linéaire, il existe $m$ tel que $f(x)=mx$.\\
$f(3)=4$ donne $m\times 3=4$ donc $m=\dfrac{4}{3}$.\\
D'où : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{4}{3}x}}$.

\subsection{}
Ci-dessous sont représentées les fonctions affines $f : x\mapsto 3x-2$ et $g : x\mapsto 5-3x$ par deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$.\\
%Déterminer l'abscisse du point d'intersection de ces deux droites.
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-5)(3,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-5)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-5)(3,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1.1}{2.3}{3*x-2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-0.1}{3}{5-3*x}
\uput[r](2,4){$\mathscr{D}_1$}
\uput[r](2,-1){$\mathscr{D}_2$}
\end{pspicture}
\end{center}
L'abscisse $x$ du point d'intersection des deux droites vérifie $f(x)=g(x)$, c'est-à-dire $3x-2=5-3x$.\\
$3x-2=5-3x$ donne $3x+3x=5+2$ donc $6x=7$ qui donne $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{7}{6}}}$.\\
L'abscisse du point d'intersection des deux droites est $\dfrac{7}{6}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : si on veut calculer son ordonnée, on peut prendre n'importe laquelle des deux fonctions.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\left(\dfrac{7}{6}\right)=3\times \dfrac{7}{6}-2=\dfrac{\cancel{3}\times 7}{\cancel{3}\times 2}-2=\dfrac{7}{2}-\dfrac{4}{2}=\dfrac{3}{2}$

\item $g\left(\dfrac{7}{6}\right)=5-3\times \dfrac{7}{6}=5-\dfrac{7}{2}=\dfrac{10-7}{2}=\dfrac{3}{2}$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  