\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde 5 : correction du TD \no 1 \\
(révisions sur le théorème de Pythagore)}}\end{center}
%Sources : https://www.capes-de-maths.com/3eme/Devoirs1011/Pythagore.pdf



\subsection{}
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que  :\\
$CB=2,4~\centi\meter$ et $AB=4,5~\centi\meter$.\\
%Calculer la longueur $AC$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ ; on applique le théorème de Pythagore :\\
$AC^2=AB^2+BC^2=4,5^2+2,4^2=20,25+5,76=26,01$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{26,01=5,1}}}$

\subsection{}
On considère le triangle suivant :
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,4)
\pstGeonode(0,0){G}
\pstGeonode[PosAngle=90](0,3.245){Z}
\pstGeonode[PosAngle=90](5.4,3.245){A}
\pstRightAngle{G}{Z}{A}
\pstLineAB{G}{Z}
\pstLineAB{A}{Z}
\pstLineAB{G}{A}
\pstLabelAB{Z}{A}{5,4 \centi\meter}
\pstLabelAB{G}{A}{6,3 \centi\meter}
\end{pspicture}
\end{center}
Le triangle GAZ est rectangle en $Z$.\\
On applique le théorème de Pythagore : $GA^2=GZ^2+ZA^2$ donc $GZ^2=GA^2-ZA^2=6,3^2-5,4^2=10,53$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{GZ=\sqrt{10,53}}}$ (valeur exacte)

\subsection{}
On considère la figure suivante :\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3,1.8)
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm,comma=true,algebraic=true}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=-90](1,0){C}\pstGeonode[PosAngle=0](2,1){D}\pstGeonode[PosAngle=135](0,1){B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslash]{A}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslash]{A}{C}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{C}{D}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{C}{B}
\pstLineAB{B}{D}
\pstLabelAB[nrot=:D]{C}{A}{1 \centi\meter}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{C}{A}{B}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{D}{C}{B}

\end{pspicture}
\end{center}
La figure est codée : $AB=AC=1$ cm.\\
$ABC$ est rectangle en $A$ ; d'près le théorème de Pythagore, $BC^2=1^2+1^2=2$ donc $BC=\sqrt{2}$.\\
De même, $CB=CD$.\\
Le théorème de Pythagore donne : $BD^2=CB^2+CD^2=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2=2+2=4$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{BD=2\text{~cm}}}$

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item ABC vérifiant AB=15 m, AC=20 m et CB=25 m.\\
Le plus grand côté est $CB=25$.\\
$CB^2=25^2=625$.\\
$AB^2+AC^2=15^2+20^2=225+400=625$.\\
Donc : $CB^2=AB^2+AC^2$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle $ABC$ est rectangle en A.

\item DEF vérifiant DE=5 km, EF = 6 km et   FD = $\sqrt{11}$ km.\\
Le plus grand côté est $EF=6$.\\
$EF^2=6^2=36$.\\
$DE^2+FD^2=5^2+\sqrt{11}^2=25+11=36$ donc $EF^2=DE^2+FD^2$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle $DEF$ est rectangle en D.

\item GHI vérifiant GH = 16 cm, HI= 13 cm et IG=11 cm.\\
Le plus grand côté est $GH$.\\
$GH^2=16^2=256$.\\
$HI^2+IG^2=13^2+11^2=169+121=290$.\\
$GH2\neq HI^2+IG^2$ ; d'après la \textbf{\textcolor{red}{contraposée du théorème de Pythagore,}} $GHI$ n'est pas rectangle.

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la figure suivante :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\pstGeonode[PosAngle=180](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=90](0,2){D}
\pstGeonode[PosAngle=90](1,2){E}
\pstGeonode[PosAngle=90](2,2){C}
\pstGeonode(3,1){B}
\pstGeonode[PosAngle=90](3,2){F}
\pstGeonode(3,0){G}
\pstLineAB{A}{D}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{D}{E}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{E}{C}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{C}{F}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{F}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{B}{G}
\pstLineAB{G}{A}
\pstLineAB{A}{C}
\pstLineAB{B}{C}
\pstLineAB{A}{B}
\psline{<->}(3.3,0)(3.3,2)
\rput{90}(3.5,1){2~\centi\meter}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{A}{D}{E}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{C}{F}{B}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{F}{G}{A}
\end{pspicture}

\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Exprimer les longueurs exactes des côtés du triangle $ABC$.Òn a : \\
$AD=2$~;~$DE=EC=CF=FB=BG=1$.\\
On applique le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles $ADC$, $CFB$ et $AGB$.\\
On en déduit : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC^2=2^2+2^2=8$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{8}}}$.

\item $CB^2=CF^2+FB^2=1^2+1^2=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{CB=\sqrt{2}}}$.

\item $AB^2=AG^2+GB^2=3^2+1^2=10$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{10}}}$
\end{enumerate}

\item %Ce triangle $ABC$ est-il rectangle ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB^2=10$

\item $AC^2+CB^2=8/+2=10$
\end{enumerate}
On constate que $AB^2=AC^2+CB^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $C$.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  