\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}


\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Accompagnement personnalisé : correction des exercices sur les vecteurs\\
(séance du 14 novembre)}}
\end{center}



\subsection{}
Dans le repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$ ci-dessous, représenter les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ :

\begin{enumerate}[a)]
\item avec pour origine le point $O$

\item avec pour origine le point $A(2~;~3)$

\item avec pour origine le point $B(-3~;~1)$.

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-3)(10,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-3)(10,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-3)(10,8)
\pstGeonode(2,3){A}
\pstGeonode(-3,1){B}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(1,-2)
\uput[r](.5,-1){$\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(3,4)
\uput[r](1.5,2){$\overrightarrow{v}$}

\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(2,3)(3,1)
\uput[r](2.5,2){$\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(2,3)(5,7)
\uput[r](3.5,5){$\overrightarrow{v}$}

\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(-3,1)(-2,-1)
\uput[l](-2.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(-3,1)(0,5)
\uput[r](-1.5,3){$\overrightarrow{v}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
On considère la figure suivante :
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-3)(8,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-3)(8,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-3)(8,8)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(1,3)(7,5)
\uput[u](4,4){$\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(2,5)(-1,7)
\uput[u](0.5,6){$\overrightarrow{v}$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(1,-3)(8,3)
\uput[u](4.5,0){$\overrightarrow{w}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%Lire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$.
On lit : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}7\\6\end{pmatrix}$



\subsection{}
\begin{center}
\psset{unit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(11,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(11,8)
\pstGeonode[PosAngle=-90](3,2){A}
\pstGeonode[PosAngle=-90](7,1){B}
\pstGeonode[PosAngle=90](6,5){C}
\pstGeonode[PosAngle=-90](1,3){E}
\pstLineAB[arrows=->,linewidth=2pt]{A}{B}
\pstLineAB[arrows=->,linewidth=2pt]{A}{C}
\pstLineAB[arrows=->,linewidth=2pt]{A}{E}
\pstGeonode[PosAngle=90](10,4){D}
\pstLineAB[linestyle=dashed,arrows=->,linewidth=2pt]{C}{D}
\pstLineAB[arrows=->,linewidth=2pt,linecolor=red]{A}{D}
\pstGeonode[PosAngle=90](4,6){F}
\pstLineAB[linestyle=dashed,arrows=->,linewidth=2pt]{C}{F}
\pstLineAB[arrows=->,linewidth=2pt,linecolor=red]{A}{F}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{B}{D}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{E}{F}
\pstGeonode[PosAngle=90](2,6){G}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

\item Construire le point $F$ tel que $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Construire $G$, image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.
On construit $G$ tel que $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BC}$

\item %Calculer les coordonnées de $G$.
$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}x_C-x_B\\y°C-y_B\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$.\\
$\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}x_G-x_A\\y_G-y_A\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}x_G-3\\y_G-2\end{pmatrix}$.\\
On en déduit : $\begin{cases}x_G-3=-1\\y_G-2=4\end{cases}$ d'où $\begin{cases}x_G=-1+3=2\\y_G=4+2=6\end{cases}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{G(2~;~6)}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère, on donne les points : $A(-2~;~2)$, $B(1~;~-3)$, $C(9~;~-1)$ et $D(6~;~4)$.

\begin{enumerate}[a)]
\item %Calculer les coordonnées des vecteurs : $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AC}$ et $
%\overrightarrow{DC}$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-(-2)=3\\-3-2=-5\end{pmatrix}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}x_D-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}6-(-2)=8\\4-2=2\end{pmatrix}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}x_C-x_A\\y_C-y_A\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}9-(-2)=11\\-1-2=-3\end{pmatrix}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}11\\-3\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}x_C-x_D\\y_C-y_D\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}9-6=3\\-1-4=-5\end{pmatrix}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}}$.
\end{enumerate}

\item %Quel est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Pourquoi ?
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ car les deux vecteur ont les mêmes coordonnées. On en déduit que $ABCD$ est un parallélogramme.

\end{enumerate}

\subsection{}
Le plan muni d’un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$.\\
On considère les points $A(-2~;~3)$, $B(4~;~-1)$ et $C(5~;~3)$.\\
%Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$ABDC$ est un parallélogramme si, et seulement si. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-(-2)=6\\-1-3=-4\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}$.

\item $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}x_D-x_C\\y_D-y_C\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}x_D-5\\y_D-3\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si, et seulement si, $\begin{cases}x_D-5=6\\y_D-3=-4\end{cases}$ donc $\begin{cases}x_D=6+5=11\\y_D=-4+3=-1\end{cases}$.\\
$D$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D(11~;~-1)}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  