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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de l'AP \no 7 du 7 octobre}}\end{center}



\subsection{}
Soient $A(5~;~8)$ et $B(2~;~-6)$.\\
%Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.
Soit $M$ le milieu  de $[AB]$.\\
$M\left(\dfrac{y_A+y_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{5+2}{2}~;~\dfrac{8+(-6)}{2}\right)$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{7}{2}~;~1\right)}}$

\subsection{}
Soient $A(1~;~-2)$, $B(6~;~1)$ et $M(8~;~-8)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $AM$ et $BM$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AM=\sqrt{\left(x_M-x_A\right)^2+\left(y_M-y_A\right)^2}=\sqrt{(8-1)^2+(-8-(-2))^2}=\sqrt{7^2+(-6)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{85}}}$

\item $BAM=\sqrt{\left(x_M-x_B\right)^2+\left(y_M-y_B\right)^2}=\sqrt{(8-6)^2+(-8-1)^2}=\sqrt{2^2+(-9)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{85}}}$

\end{enumerate}

\item %En déduire que $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
$AM=BM$ donc $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ : $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ (droite qui coupe perpendiculairement $[AB]$ en son milieu)
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-10)(9,2)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-10)(9,2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-10)(9,2)
\pstGeonode (1,-2){A}(6,1){B}(8,-8){M}
\pstLineAB[linecolor=red,linewidth=2pt]{A}{B}
\pstLineAB[linecolor=blue,linewidth=2pt]{A}{M}
\pstLineAB[linecolor=blue,linewidth=2pt]{B}{M}
\pstMiddleAB[PosAngle=-90]{A}{B}{I}
\pstLineAB[,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{M}{I}
\pstRightAngle  {B}{I}{M}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}
Placer les points A(4~;~1 ) ; B( 0~;~4 ) ; C ( -6~;~ -4 ) 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-7,-7)(5,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-7)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-7,-7)(5,6)
\pstTriangle(4,1){A}(0,4){B}(-6,-4){C}
%\pstMiddleAB{A}{C}{K}
\pstCircleABC{A}{B}{C}{K}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Calculer les longueurs $AB$, $BC$, $AC$ et en déduire que le triangle $ABC$ est rectangle.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(0-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(-6-0)^2+(-4-4)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=\boxed{\textcolor{red}{10}}$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(-6-4)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{(-10)^2+(-5)^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=\boxed{\textcolor{red}{5\sqrt{5}}}$

\item On a $AC^2=125$ et $AB^2+BC^2=25+100=125$.\\
Par conséquent = $AC^2=AB^2+BC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.


\end{enumerate}
\item %Trouver les coordonnées du centre K du cercle circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle.
Le centre K du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est le milieu de l'hypoténuse $[AC]$ 
\end{enumerate}



\subsection{}
Dans le repère orthonormé (O~;~I~;~J) on considère les points suivants : $A(6~;~0)$, $B(0~;~4)$ et $C(1~;~-1)$.

\begin{enumerate}
\item %Faire une figure.
Figure :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-2)(7,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(7,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(7,5)
\pstTriangle[linewidth=2pt,linecolor=blue](6,0){A}(0,4){B}(1,-1){C}
\pstMiddleAB{A}{B}{K}
\pstLineAB{C}{K}
\pstGeonode(0,0){O}
\pstLineAB{O}{K}
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Prouver que le triangle $ABC$ est rectangle.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Calcul de $AB$ : $AB=\sqrt{(0-6)^2+(4-0)^2}=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{52}}}$

\item Calcul de $BC$ : $BC=\sqrt{(1-0)^2+(-1-4)^2}=\sqrt{1^2+(-5)^2}=\sqrt{1+25}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{26}}}$

\item Calcul de $AC$ : $AC=\sqrt{(1-6)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{(-5)^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{26}}}$

\item $AB^2=52$ et $BC^2+AC^2=26+26=52$ donc $AB^2=BC^2+AC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
\end{enumerate}

\item On appelle $K$ le milieu du segment $[AB]$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées de $K$.
$K\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ donc $K\left(\dfrac{6+0}{2}~;~\dfrac{0+4}{2}\right)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{K(3~;~2)}}$

\item %Prouver que $K$ appartient à la médiatrice du segment $[OC]$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $OK=\sqrt{\left(x_K-x_O\right)^2+\left(y_K-y_O\right)^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{OK=\sqrt{13}}}$

\item $CK=\sqrt{\left(x_K-x_C\right)^2+\left(y_K-y_C\right)^2}=\sqrt{(3-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{CK=\sqrt{13}}}$

\item $OK=CK$ donc $K$ appartient à la médiatrice de $[CK]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{}
 Placer les points  A( -2~;~-3) ; B(-4~;~ 4) ; C ( 3~;~6).
 \begin{center}
\psset{unit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-4)(6,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-4)(6,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-4)(6,7)
\pstTriangle(-2,-3){A}(-4,4){B}(3,6){C}
\pstMiddleAB{A}{C}{K}
\pstGeonode(5,-1){D}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{(-4-(-2))^2+(4-(-3))^2}=\sqrt{(-2)^2+7^2}=\sqrt{53}$

\item $BC=\sqrt{(3-(-4))^2+(6-4)^2}=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$

\item $AC=\sqrt{(3-(-2))^2+(6-(-3))^2}=\sqrt{5^2+9^2}=\sqrt{106}$

\item $AC^2=106$~;~$AB^2+BC^2=106$. Donc $\boxed{\textcolor{red}{AC^2=AB^2+BC^2}}$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en $B$.
\end{enumerate}

\item Soit $K$ le milieu du segment $[AC]$  . %Déterminer les coordonnées de $K$.
$K\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}~;~\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $K\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$

\item  Soit $D$ le symétrique de $B$ par rapport à K. %Déterminer les coordonnées de $D$.
$K$ est donc le milieu de [BD].\\
$\begin{cases}x_K=\dfrac{x_B+x_D}{2}\\y_K=\dfrac{y_B+y_D}{2}\end{cases}$ donc $\begin{cases}\dfrac{1}{2}=\dfrac{-4+x_D}{2}\\\dfrac{3}{2}=\dfrac{4+y_D}{2}\end{cases}$ d'où $\begin{cases}1=-4+x_D\\3=4+y_D\end{cases}$ d'où $\begin{cases}x_D=1+4=5\\y_D=3-4=-1\end{cases}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{D(5~;~-1)}}$

\item  %Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$. Justifier votre réponse.
Par construction, les diagonales $[BD]$ et $[AC]$ du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu, $K$.\\
$ABCD$ est donc un parallélogramme.\\
De plus, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ : $ABCD$ est un parallélogramme avec un angle droit, donc c'est un rectangle.\\
Or, $AB=BC$ donc ce rectangle est un carré. \fbox{\textcolor{red}{ABCD donc un carré}}.
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  