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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de l'AP \no 1}}\end{center}


\subsection{}
\noindent $A=\dfrac{4}{9}- 2\times \dfrac{ 7}{6}=\dfrac{4}{9}-\dfrac{2\times 7}{2\times 3}=\dfrac{4}{9}-\dfrac{7}{3}=\dfrac{4-21}{9}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{17}{9}}}$.\\

\noindent $B=\dfrac{1 - 2\times \frac73}{ \left(1-\frac16\right)^2}=\dfrac{1-\frac{14}3}{\left(\frac{6}{6}-\frac{1}{6}\right)^2}=\dfrac{\frac33-\frac{14}3}{\left(\frac56\right)^2}=\dfrac{-\frac{11}3}{\frac{25}{36}}=-\dfrac{11}3{\times \dfrac{36}{25}=-\dfrac{11\times 3\times 12}{3\times 25}}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{132}{25}}}$\\

\noindent $C=\dfrac{1 - \frac13}{ 6}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{\frac33-\frac13}{6}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{\frac23}{6}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{6}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2\times 3}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{2}{9}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5-4}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{20}}}$

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $15=3\times 5$

\item $48=16\times 3=2^4\times 3$
\end{enumerate}

\item Pour calculer le PPCM de deux nombres, on prend chaque facteur premier intervenant dans les décompositions affecté du plus grand exposant.:\
On en déduit que $\text{PPCM}(15~;~48)=2^4\times 3\times 5=16\times 3\times 5=\boxed{\textcolor{red}{240}}$.

\item $\dfrac{23}{48}-\dfrac{5}{15}=\dfrac{5\times 23}{240}-\dfrac{5\times 16}{240}=\dfrac{115-80}{240}=\dfrac{35}{240}=\dfrac{5\times 7}{5\times 48}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{48}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On veut calculer $A=\dfrac{7}{160}+\dfrac{1}{\numprint{2700}}$.\\
$160=16\times 10=2^4\times 2\times 5=2^5\times 5$.\\
$\numprint{2700}=27\times 100=3^3\times 4\times 25=3^3\times 2^2\times 5^2=2^2\times 3^3\times 5^2$.\\
On en déduit que $\text{PPCM}(160~;~2700)=2^5\times 3^3\times 5^2=\numprint{21600}$.\\
Alors : $A=\dfrac{7}{160}+\dfrac{1}{\numprint{2700}}=\dfrac{7\times 135}{\numprint{21600}}+\dfrac{1\times 8}{\numprint{21600}}=\dfrac{945+8}{\numprint{21600}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{953}{\numprint{21600}}}}$.\\

\noindent $72=8\times 9=2^3\times 3^2$ ; $48=16\times 3=2^4\times 3$.\\
On en déduit que $\text{PPCM}(72~;~48)=2^4\times 3^2=16\times 9=144$.\\
Alors : $B=\dfrac{5}{72}-\dfrac{1}{48}=\dfrac{10}{144}-\dfrac{3}{144}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{144}}}$

\subsection{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A = \dfrac{13 + a}{13 – a}$ ne peut pas être simplifiée car il n'y a pas de produit au numérateur et au dénominateur avec un même facteur.

\item $B= \dfrac{13 + 13a}{13 – 13a}=\dfrac{13(1+a)}{13(1-a)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1+a}{1-a}}}$

\item $C= \dfrac{2x + 3}{2 ( x + 3 )}$ n'est pas simplifiable.

\item $D=\dfrac{2x + 18}{2 ( x + 3 )}=\dfrac{2(x+9)}{2(x+3)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x+9}{x+3}}}}$

\item $E= \dfrac{10}{15n – 10}=\dfrac{5\times 2}{5(3n-2)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3n-2}}}$


\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{R_T} =\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{3}{36}+\dfrac{4}{36}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{36}}}$ donc $R_T=\dfrac{36}{7}~\Omega$.

\item $\dfrac{1}{R_T}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}=\dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2}$ d'où $R_T=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}}}$

\item Si $R_1=R_2=x$, on obtient $R_T=\dfrac{x\times x}{x+x}=\dfrac{x^2}{2x}=\dfrac{x}{2}$.

\item $\dfrac{1}{R_T}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}=\dfrac{R_2R_3+R_1R_3+R_1R_2}{R_1R_2R_3}$ donc $R_T=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{R_1R_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_1R_3}}}$.

\item Si $R_1=R_2=R_3=x$, on obtient $R_T=\dfrac{x^3}{3x^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}}$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  