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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Vecteurs (deuxième partie)}}\end{center}
\tableofcontents



\subsection{\textcolor{red}{Valeur absolue d'un nombre}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $x$ un nombre réel. On appelle valeur absolue de $x$, le nombre noté $\left\vert x \right\vert$, défi par $\left\vert x \right\vert=\begin{cases}x\text{ si }x\geqslant 0\\-x\text{ si }x\leqslant 0\end{cases}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
$\left\vert 3 \right\vert=3$~;~$\left\vert -7 \right\vert=-(-7)=7$~;~$\left\vert 0 \right\vert=0$

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Interprétation graphique}} : sur la droite gradués (droite des réels), $\left\vert x \right\vert$ est la distance de $x$ à 0.



\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.5,0)
\uput[u](1.5,0){$x$}
\psline{<->}(0,0.2)(1.5,0.2)
\uput[u](0.75,0.2){$\left\vert x \right\vert$}
\end{pspicture}

\psset{unit=1}
\bigskip
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,0.5)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-0.4,0)
\uput[d](-0.4,0){$x$}
\psline{<->}(0,0.2)(-0.4,0.2)
\uput[u](-0.2,0.2){$\left\vert x \right\vert$}
\end{pspicture}

En effet, une distance est toujours un nombre positif.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et propriété}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $a$, $x$ et $r$ des nombres avec $r\geqslant 0$.\\
On appelle distance entre $a$ et $x$ le nombre $\left\vert a-x \right\vert$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\left\vert a-x \right\vert=\left\vert x-a \right\vert$.

\psset{unit=1}
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.2,0)(1.7,0)
\uput[d](1.2,0){$a$}\uput[d](1.7,0){$x$}
\psline{<->}(1.2,0.2)(1.7,0.2)
\uput[u](1.45,0.2){$\left\vert x-a\right\vert$}
\end{pspicture}

\item $x\in[a-r~;~a+r]$ si, et seulement si, $\left\vert x-a \right\vert\leqslant r$.

\psset{unit=1}
\psset{xunit=4,yunit=.8}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(2.5,1)
\psline{->}(-1.5,0)(2.5,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.8,0)
\uput[d](1.8,0){$a$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.5,0)(2.1,0)
\uput[d](1.5,0){$a-r$}\uput[d](2.1,0){$a+r$}
\psline[linecolor=red]{<->}(1.5,0.2)(1.8,0.2)\psline[linecolor=red]{<->}(1.8,0.2)(2.1,0.2)
\uput[u](1.65,0.2){r}\uput[u](1.95,0.2){r}
\end{pspicture}
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Multiplication d'un vecteur par un réel}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Rappel}}
Soit $k$ un réel. On note $\left\vert k \right\vert$ (\og{}se lit valeur absolue de $k$\fg{}), le nombre défini par :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left\vert k \right\vert=k$ si $k>0$

\item $\left\vert k\right\vert =-k$ si $k<0$
\end{enumerate}.\\
$\left\vert k \right\vert$ est donc toujours un nombre positif et représente la distance de $k$ à l'origine sur une droite graduée.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : \\
$\left\vert 2 \right\vert=2$ car 2>0\\
$\left\vert -3 \right\vert=-(-3)=3$ car $-3<0$

\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,1)
\psline(-5,0)(5,0)
\psline(0,0.2)(0,-0.2)\psline(2,0.2)(2,-0.2)\psline(-3,0.2)(-3,-0.2)
\uput[d](-3,0){-3}\uput[d](0,0){0}\uput[d](2,0){2}
\psline{<->}(-3,0.2)(0,0.2)
\psline{<->}(0,-0.2)(2,-0.2)
\uput[u](-1.5,0.2){$\left\vert -3 \right\vert=3$}
\uput[u](1,0.2){$\left\vert 2 \right\vert=2$}
\end{pspicture}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Notation}}
La norme  (\og{}longueur\fg{}) d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ se note $\vert\vert \overrightarrow{u} \vert\vert$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\vert\vert \overrightarrow{AB} \vert\vert=AB$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et soir $k$ un réel non nul.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $k\overrightarrow{u}$ ont la même direction.

\item Si $k>0$, $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens. Si $k<0$, les deux vecteurs sont de sens contraire.

\item La norme de $k\overrightarrow{u}$ est $\left\vert k \right\vert$ fois celle de $\overrightarrow{u}$.\\
$\vert\vert k\overrightarrow{u} \vert\vert=\left\vert k \right\vert\times \vert\vert \overrightarrow{u} \vert\vert$.
\end{enumerate}

\bigskip
Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ et pour tout réel $k$ : $0\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ et $k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

\end{bclogo}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : 
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-1.)(10.,4.)
\psline{->}(0.,0.)(6.,0.)
\psline{->}(0.,1.)(9.,1.)
\psline{->}(0.,2.)(-3.,2.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
\rput[bl](0.08,0.12){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.,0.)
\rput[bl](6.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,1.)
\rput[bl](0.08,1.12){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,2.)
\rput[bl](0.08,2.12){\xdxdff{$E$}}
\rput[bl](3.,0.08){$\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.,1.)
\rput[bl](9.08,1.12){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](4.5,1.08){$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3.,2.)
\rput[bl](-2.92,2.12){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](-1.5,2.1){$-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\bigskip

Remarque : si $M$ est le milieu d'un segment $[AB]$, alors $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
\begin{center}
\psset{xunit=,yunit=,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,1)
\psline{->}(0,0)(6,0)
\psdots(0,0)(3,0)(6,0)
\uput[d](0,0){A}\uput[d](3,0){M}\uput[d](6,0){B}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Pour tous réels $k$ et $k'$, pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $k\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$.

\item $k\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$.

\item $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ si, et seulement si, $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\subsection{\textcolor{red}{Colinéarité de deux vecteurs}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ non nul tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} :  deux vecteurs colinéaires ont la même direction.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Caractérisation par les coordonnées}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\widehat{x\\y}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.\\
On appelle déterminant de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, le nombre dét$\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=x'y-x'y$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : les coordonnées de $k\overrightarrow{u}$ sont $k\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}.$

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $ABCD$ un parallélogramme.\\
Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.\\
L'aire du parallélogramme $ABCD$ est $\text{dét}\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}\right)$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $\text{dét}\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=0$.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemple : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}14\\35\end{pmatrix}$.\\
$\text{dét}\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=2\times 35-5\times 14=0$ donc ces deux vecteurs sont colinéaires.\\
Il est d'ailleurs évident que $\overrightarrow{v}=7\overrightarrow{u}$ (coordonnées proportionnelles avec un coefficient de proportionnalité égal à 7).



\subsection{\textcolor{red}{Parallélisme et alignement}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Droites parallèles}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ distincts.\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
\end{bclogo}
Justification : les deux droites sont parallèles signifie qu'elles ont la même direction, donc les deux vecteurs ont la même direction donc donc sont colinéaires.

\bigskip

Exemple : soient $A(2~;~3)$, $B(10~;~5)$, $C(4~;~6)$ et $D(8~;~7)$.\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$.\\
Il est clair que $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires : les deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Points alignés}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecrteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires (ou $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$).
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : soient $A(2~;~3)$, $B(10~;~5)$ et $E(30~;~10)$.\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}$ (exemple précédent).\\
$\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}$.\\
$\text{dét}\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AE}\right)=8\times 7-2\times 28=0$ donc ces deux vecteurs sont colinéaires.\\
Les trois points $A$, $B$ et $E$ sont donc alignés.

\label{fin}
\end{document}  