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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}.\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/7}
\title{\textbf{\fbox{\textcolor{red}{Fonctions : généralités}}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Rappel sur les coordonnées}}
Pour repérer un point dans le plan, on trace deux droites sécantes en un point O. Ces deux droites sont appelées axes.\\
Sur chaque axe, on choisit une unité de longueur en plaçant deux points I et J.\\
On dit alors que $(O~;~I~;~J)$ est un repère du plan.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(8,4.5)
\psplot{-2}{8}{(-0--1.78*x)/1.06}
\psplot{-2}{8}{(-0-0*x)/1}
\psdots(0,0)
\psdots[linecolor=blue](1.06,1.78)
\rput[bl](1.14,1.9){\blue{$J$}}
\psdots[linecolor=blue](6.9,3.48)
\rput[bl](6.98,3.6){\blue{$M$}}
\psdots[linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.08,0.12){\blue{$I$}}
\psdots[linecolor=darkgray](4.83,0)
\rput[bl](5,0.12){\darkgray{$M^{\prime}$}}
\rput[bl](2.36,3.6){\darkgray{$M^{\prime\prime}$}}
\psline[linestyle=dashed](6.9,3.48)(2.07,3.48)
\psline[linestyle=dashed](6.9,3.48)(4.83,0)
\psdots(0,0)(1,0)(1.06,1.78)
\uput[d](0,0){O}
\uput[d](1,0){1}
\uput[l](1.06,1.78){1}
\uput[d](4.83,0){$x_{M}$}
\uput[l](2.07,3.48){$y_{M}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On prend un point $M$ quelconque ; on trace deux droites passant par $M$ et parallèle aux axes ; elles coupent ces deux axes en $M'$ et $M''$, qui sont repérés par deux nombres $x$ et $y$. $x$ est l'abcisse de $M$ et $y$ l'ordonnée de $M$.\\
$x$ et $y$ sont alors les coordonnées de $M$ ; on écrit $M(x~;~y)$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On dit que le repère est orthogonal si, et seulement si, les deux axes sont orthogonaux.

\item On dit que le repère est orthonormal si, et seulement si, les deux axes sont orthogonaux et l'unité sur les deux axes est la même ($OI=OJ$).
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\newpage



\subsection{\textcolor{red}{Notion de fonction}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\mathscr{D}$ un intervalle de $\mathbb{R}$ ou une réunion d'intervalles.\\
Une fonction numérique $f$, définie sur $\mathscr{D}$, est un procédé qui, à chaque nombre de $x$ de $\mathscr{D}$ associe un \textbf{unique} nombre, noté $f(x)$.\\
$\mathscr{D}$ est l'ensemble de définition de $f$ ; c'est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.\\
Le réel $x$ est appelé la \textbf{variable}.$f(x)$ est \textbf{l'image} de $x$  par $f$.\\
$x$ est un antécédent de $f(x)$.\\
On écrit : $f : \left.\begin{array}{l}\mathscr{D}\rightarrow \mathbb{R}\\x\longmapsto f(x)\end{array}\right.$ ou plus simplement : $f:x\longmapsto f(x)$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item On enregistre la température en un endroit précis sur une période de 24 heures. $T:x\mapsto y=T(x)$ où $T(x)$ est la pression à l'instant $x$.

\item On enregistre la hauteur d'eau dans un port en fonction de l'heure (elle varie en fonction de la marée).

\item $v(x)$ est la vitesse d'une voiture à $x$ km de son point de départ sur un circuit automobile .

\item $f(x)$ est la carré du nombre $x$ : Sur $\mathbb{R}$ : $f:x\mapsto x^2$.

\item $\mathscr{D}=]-\infty~;~0[\cup ]0~;~=\infty[$ : $f:x\mapsto\frac{1}{x}$\\
$\dfrac{1}{x}$ n'existe que si $x\neq 0$ car on ne peut pas diviser par 0.\\
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : $]-\infty~;~0[\cup ]0~;~+\infty[$ se note aussi $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ou $\mathbb{R}^*$

\item $\mathscr{D}=[0~;~+\infty[$ : $f:x\mapsto \sqrt{x}$

\item $\mathscr{D}=]0,1[$. $p~:~x\mapsto y=p(x)$ où $y$ est la première décimale de $x$. \\
On a alors $p\left(\dfrac{1}{3}\right)=3$, $p(0,123)=1$
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!40, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Remarques}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un nombre ne peut avoir qu'une seule image par une fonction $f$.

\item Un nombre peut avoir \textbf{plusieurs} antécédents par $f$ ; exemple : pour $f(x)=x^2$, on a $f(-2)=f(2)=4$ donc 4 a deux antécédents par $f$
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}
\item Sur $\mathbb{R}$, on considère  la fonction $f:x\mapsto 3x^2+5x-4$.\\
Calculer les images de 0, 3, 5 et -1.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=3\times 0^{2}+5\times 0-4=-4$

\item $f(3)=38$

\item $f(5)=3\times 5^{2}+5\times 5-4=96$

\item $f(-1)=3\times (-1)^{2}+5\times (-1)-4=-5$
\end{enumerate}

\item $\mathscr{D}=\mathbb{R}$. $g(x)=x^2$.\\
Quels sont les antécédents de -4 ? de 2 ? \\
-1 a-t-il des antécédents ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Réponses :}}\\
$x$ est un antécédent de $-4$ si $g(x)=-4$, donc $x^{2}=-4$.\\
Or, $x^{2}\geqslant 0$ donc $x^{2}$ ne peut pas être égal à -4 qui est négatif.\\
-4 n'a pas d'antécédent.\\
Les antécédents de 2 sont les nombres $x$ tels que $x^{2}=2$, donc $x^{2}=2$.\\
2 a donc pour antécédents $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$.\\
(\textbf{\textcolor{red}{rappel}} : pour $a\geqslant 0$, l'équation $x^{2}=a$ possède deux solutions, $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ ; en effet, $x^{2}=a$ s'écrit $x^{2}-a=0$, d'où $x^{2}-\left(\sqrt{a}\right)^{2}=0$ soit $\left(x+\sqrt{a}\right)\left(x-\sqrt{a}\right)=0$ après factorisation ; on a bien les deux solutions proposées, en utilisant le fait qu'une produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul. )\\

$x$ est un antécédent de -1 si et seulement si $g(x)=-1$, donc si et seulement si $x^{2}=-1$, ce qui est impossible car $x^{2}\geqslant 0$.\\
-1 n'a pas d'antécédent par $g$.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{red}{Courbe représentative}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathscr{D}$.\\
La courbe $\mathscr{C}_f$,  représentative de $f$, est l'ensemble des points $M(x~;~f(x))$ où $x\in\mathscr{D}$.
\end{bclogo}

\bigskip

$x$ est donc l'abscisse et $f(x)$ l'ordonnée d'un point $M$ de la courbe $\mathscr{C}_{f}$.


\noindent \textcolor{red}{\textbf{Exemple} : }



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\noindent Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1,5~;~5]$
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,5)
\psset{algebraic=true}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-2)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=10,gridwidth=0.7pt,gridlabels=0](-3,-2)(5,5)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](4.8,0){$x$}\uput[l](0,4.8){$y$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-1.5}{5}{(x+1)*(x-2)*(x-4)/5}
\psdots(1,1.2)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](1,1.2)(1,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](1,1.2)(0,1.2)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](-3,1)(5,1)
\uput[ul](1,0){$\textcolor{blue}{x}$}
\uput[dr](0,1.2){$\textcolor{blue}{f(x)}$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-1.5,-1.93)(-1,0)(0,1.6)(2,0)(4,0)(-0.58,1)(1.19,1)(4.39,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent \textcolor{blue}{\textbf{Lecture d'une image} :} Quelles sont les images de -1.5 ? de -1 ? de 0 ? de 1? de 2 ?\\
L'image de $-1,5$ est environ égale à -1,9 ; $\boxed{\textcolor{red}{f(-1,5)\approx -1,9}}$\\
L'image de -1 est 0 : $\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=0}}$\\
L'image de 0 est 1,6 :  $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=1,6}}$\\
De même : $f(1)=1,2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=0}}$\\

\noindent \textcolor{blue}{\textbf{Lecture d'un antécédent} :} Quelles sont les antécédents de 0 ? de 1 ? de 2 ? de 4 ?\\
Pour lire les antécédents de 0, on regarde les abscisses des points de la courbe qui ont 0 pour ordonnée :\\
Les antécédents de 0 sont -1, 2 et 4.\\

\noindent Antécédents de 1 : approximativement -0,5 ; 1,2 et 4,4.\\

\noindent Antécédents de 4 : il n'y en a pas sur l'intervalle considéré.

\end{multicols}

\subsection{\textcolor{red}{Variations d'une fonction}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Sens de variation}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ signifie que sur l'intervalle $I$, si les valeurs de la variable $x$ augmentent, alors les images $f(x)$ augmentent aussi.\\
\textcolor{blue}{Traduction mathématique :} Pour tous $x_1$ et $x_2$ de $I$ tels que $x_1\leqslant x_2$, alors $f(x_1\leqslant f(x_2$.\\
(une fonction croissante \textbf{\textcolor{red}{conserve l'ordre}}.)
\end{bclogo}

\textcolor{red}{\textbf{Illustration graphique} :}\\

\begin{center}
\psset{algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,0)(10,3)
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1]%
      {->}(0,0)(10,3.5)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{10}{sqrt(x)}
\uput[d](2.3,0){$x_{1}$}
\uput[d](4.3,0){$x_{2}$}
\uput[l](0,1.516){$f\left(x_{1}\right)$}
\uput[ur](0,2.07){$f\left(x_{2}\right)$}
\psline[linestyle=dashed](2.3,0)(2.3,1.516)
\psline[linestyle=dashed](2.3,1.516)(0,1.516)
\psline[linestyle=dashed](4.3,0)(4.3,2.07)
\psline[linestyle=dashed](4.3,2.07)(0,2.07)
\uput[u](9,3){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}
\begin{bclogo}[couleur =cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ signifie que sur l'intervalle $I$, si les valeurs de la variable $x$ augmentent, alors les images $f(x)$ diminuent.\\
\textcolor{blue}{Traduction mathématique :} Pour tous $x_1$ et $x_2$ de $I$ tels que $x_1\leqslant x_2$, alors $f(x_1\geqslant f(x_2$.\\
(une fonction croissante renverse l'ordre.)
\end{bclogo}


\textcolor{red}{\textbf{Illustration graphique} :}\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.7,yunit=0.3,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-8,-5)(8,13)
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-5)(8,13)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-5}{5}{4-2*x}
\uput[u](-2,0){$x_1$}\uput[u](4,0){$x_2$}
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,8)
\psline[linestyle=dashed](-2,8)(0,8)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,-4)
\psline[linestyle=dashed](4,-4)(0,-4)
\uput[r](0,8){$f\left(x_1\right)$}
\uput[ur](0,-4){$f\left(x_2\right)$}
\uput[u](-4,12){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage



\subsubsection{\textcolor{blue}{Tableau de variation d'une fonction}}
Un tableau de variation sert à rassembler visuellement toutes les informations sur les variations d'une fonction.\\

\noindent \textcolor{blue}{\textbf{Exemples} : }\\
\begin{enumerate}
\item 
%Soit la courbe ci-dessous, représentative de la fonction définie par :$f(x)=\frac{{x^3}}{3}+\frac{3 {x^2}}{2}-4 x$\\
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-6,-2)(3,6)
%\psset{yunit=0.3,algebraic=true}
%\psline{->}(-6,0)(3,0)
%\psline{->}(0,-3)(0,18)
%%repère
%\uput[dr](0,0){$O$}
%\uput[d](1,0){I}
%\uput[l](0,1){J}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-3)(3,20)
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-6}{3}{x^3/3+3*x^2/2-4*x}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%
%
%La fonction $f$ est définie sur $[-6;3]$,  croissante sur $[-6;-4]$, décroissante sur $[-4;1]$ et croissante sur $[-1;3]$. On a : $f(-6)=6$ ; $f(-4)=\frac{56}{3}$ ; $f(1)=-\frac{13}{6}$ ; $f(3)=\frac{21}{2}$.\\
%Le tableau de variation est alors :
%\begin{center}
%\begin{variations}
%x&-6&&-4&&1&&3\\
%\filet
%\m{f(x)}&6&\c&\h{\frac{56}3}&\d&-\frac{13}6&\c&\h{\frac{21}2}\\
%\end{variations}
%\end{center}

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2 x^{3}-3 x^{2}-12 x}{2}$.

\noindent La courbe représentative est 
\begin{center}

\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.25cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-16.)(5.,10.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5.,-16.)(5.,10.)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.8pt](-5.,-16.)(5.,10.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{(2.0*x^(3.0)-3.0*x^(2.0)-12.0*x)/2.0}
\uput[d](3,-5){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le tableau de variation de $f$ est : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&2&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{3,5}&\d&-10&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
 Une flèche montante indique que la fonction est croissante, une flèche descendante indique que la fonction est décroissante.
 

\newpage


\item Soit $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction définie par : $f(x)=\frac{1}{x-2}$\\
\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-6)(5,6)
\psline{->}(-6,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\psaxes[Ox=00,Dx=1,Oy=0,Dy=1,linewidth=1.5pt] {<->}(0,0)(-6,-5)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-5)(5,5)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](2,-5)(2,5)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-6}{1.8}{1/(x-2)}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{2.2}{5}{1/(x-2)}
\uput[r](3,1){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}

La fonction $f$ n'est \textbf{pas définie} en $x=2$. 2 est une valeur \textbf{\textcolor{red}{interdite}}.\\
L'ensemble de définition de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}}}$.

\noindent On traduit cette situation par une \textbf{\textcolor{blue}{double barre verticale}} dans le tableau de variation et une ligne pointillée dans le graphique. (On verra cela en détail dans le chapitre sur la fonction inverse.)

\noindent La fonction est décroissante sur $]-\infty~;~2[$ et sur $]2;+\infty[$. Quand $x$ tend vers $-\infty$, $f(x)$ se rapproche de plus en plus de 0, de même que quand $x$ tend vers $+\infty$.
Le tableau de variation est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&2&&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&\h{0}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&0\\
\end{variations}
\end{center}

\newpage


\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Extremum :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathscr{D}$.\\
$f$ admet un maximum en $a\in\mathscr{D}$ si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(x)\leqslant f(a)$.
$f$ admet un minimum en $a\in\mathscr{D}$ si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(x)\geqslant  f(a)$.\\
$f$ admet un extremum en $a$ si $f$ admet un maximum ou un minimum.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple }}: 
Soit la fonction $f$ définie sur $[-6~;~6]$ par $f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}$ dont voici la courbe représentative :\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-0.5)(6,6.5)
\psset{yunit=0.8}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-6,0)(6,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-0.5)(0,5)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\uput[d](1,0){I}
\uput[l](0,1){J}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-0.5)(6,5)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt,plotpoints=400]{-6}{6}{1 3 x 2 exp 1 add div add}
\uput[u](2,1.6){$\mathscr{C}_{f}$}
\psdots(-6,1.08)(6,1.08)
\end{pspicture}
\end{center}


Cette fonction est croissante sur $]-6~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~6[$.

\noindent Le maximum de $f(x)$ est 4, atteint en 0 ($f(0)=4$).\\
$f(-6)=f(6)=\dfrac{40}{37}$. Le minimum est $\dfrac{40}{37}$, atteint en -6 et 6.

\noindent Le tableau de variation est : 

\begin{center}
\begin{variations}
x&-6&&0&&6\\
\hline
\m{f(x)}&\dfrac{40}{37}&\c&\h{4}&\d&\dfrac{40}{37}\\
\end{variations}
\end{center}



\textbf{\textcolor{blue}{Exemple : }} Voici la courbe représentative de $f:x\mapsto \dfrac{4}{(x^2+1)}$, définie sur $\mathbb{R}$.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,4.5)
\psset{xunit=1,yunit=0.8,algebraic=true}
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1]%
      {->}(0,0)(-4,-0.5)(4,4.5)
      \uput[dl](0,0){0}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{4}{4/(x^2+1)}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-4,-1)(4,5)
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,1)
\uput[u](2,0.8){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Le maximum est 1, atteint en 0, mais $f$ n'a pas de minimum (0 n'est l'image d'aucun nombre).


\end{multicols} 
\label{fin}
\end{document} 


 