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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur les racines carrées}}\end{center}




\subsection{}
Écrire plus simplement :

\begin{enumerate}[$A=~$]
\item $\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}=4\times \left(\sqrt{3}\right)^2=4\times 3=12$ ; $\boxed{\textcolor{red}{A=12}}$

\medskip

\item $\left(2\sqrt{7}\right)\times \left(-5\sqrt{7}\right)=2\times (-5)\times \left(\sqrt{7}\right)^2=-10\times 7=-70$ ; $\boxed{\textcolor{red}{B=-70}}$

\medskip

\item $\left(3\sqrt{7}\right)^2=3^3\times \sqrt{7}^2:=9\times 7=63$ ; $\boxed{\textcolor{red}{C=63}}$

\medskip

\item $\left(-2\sqrt{5}\right)\times \left(-4\sqrt{5}\right)=(-2)\times (-4)\times \left(\sqrt{5}\right)^2=8\times 5=40$ ; $\boxed{\textcolor{red}{D=40}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer de manière la plus simple possible :
\begin{enumerate}[$A=~$]

\item $\sqrt{4\times 9\times 16}=\sqrt{4}\times \sqrt{9}\times \sqrt{16}=2\times 3\times 4=24$ ; $\boxed{\textcolor{red}{A=24}}$

\medskip

\item $\sqrt{2^2\times 3^4\times 5^2}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{3^4}\times \sqrt{5^2}=2\times 3^2\times 5=80$ ; $\boxed{\textcolor{red}{B=80}}$

\medskip

\item $\sqrt{144\times 225}=\sqrt{144}\times \sqrt{225}=12\times 15=180$ ; $\boxed{\textcolor{red}{C=180}}$

\medskip

\item $\sqrt{\dfrac{225\times 121}{36\times 144 }}=\dfrac{\sqrt{225\times 121}}{\sqrt{36}\times \sqrt{144}}=\dfrac{\sqrt{225}\times \sqrt{121}}{\sqrt{36}\times \sqrt{144}}=\dfrac{15\times 11}{6\times 12}=\dfrac{\cancel{3}\times 5\times 11}{\cancel{3}\times 2\times 12}=\dfrac{55}{24}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{D=\dfrac{55}{24}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$, $a$ et $b$ étant entiers, $b$ le plus petit possible.

\begin{enumerate}[$A=~$]


\item $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{5^2\times 2}=5\sqrt{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{A=5\sqrt{2}}}$

\medskip

\item $\sqrt{245}=\sqrt{49\times 5}=\sqrt{7^2\times 5}=7\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{B=7\sqrt{5}}}$

\medskip

\item $\sqrt{20}\times \sqrt{15}=\sqrt{2^2\times 5}\times \sqrt{5}\times \sqrt{3}=2\sqrt{5}\times \sqrt{5}\times \sqrt{3}=2\times \left(\sqrt{5}\right)^2\times \sqrt{3}=2\times 5\times \sqrt{3}=10\sqrt{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{C=10\sqrt{3}}}$

\medskip

\item $\sqrt{108}=\sqrt{36\times 3}=\sqrt{6^2\times 3}=6\sqrt{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{D=6\sqrt{3}}}$

\medskip

\item $5\sqrt{18}=5\times \sqrt{9\times 2}=5\times \sqrt{3^2\times 2}=5\times 3\sqrt{2}=15\sqrt{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{E=15\sqrt{2}}}$

\medskip

\item $\sqrt{32}\times \sqrt{14}=\sqrt{16\times 2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{7}=4\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{7}=4\times 2\times \sqrt{7}=8\sqrt{7}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{F=8\sqrt{7}}}$

\medskip

\item $\sqrt{\numprint{1000}}=\sqrt{10^2\times 10}=10\sqrt{10}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{G=10\sqrt{10}}}$

\medskip

\item $2\sqrt{147}=2\times \sqrt{7^2\times 3}=2\times 7\sqrt{3}=14\sqrt{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{H=14\sqrt{3}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Écrire plus simplement :
 
\begin{enumerate}[$A=~$]

\item $\sqrt{98}+\sqrt{32}-\sqrt{8}=\sqrt{49\times 2}+\sqrt{16\times 2}-\sqrt{4\times 2}=\sqrt{7^2\times 2}+\sqrt{4^2\times 2}-\sqrt{2^2\times 2}=7\sqrt{2}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\left(7+4-2\right)\sqrt{2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{9\sqrt{2}}}$.

\medskip

\item $\sqrt{24}-\sqrt{96}+3\sqrt{54}=\sqrt{4\times 6}-\sqrt{16\times 6}+3\sqrt{9\times 6}=\sqrt{2^2\times 6}-\sqrt{4^2\times 6}+3\sqrt{3^2\times 6}=2\sqrt{6}-4\sqrt{6}+3\times 3\sqrt{6}=\left(2-4+9\right)\sqrt{6}=\boxed{\textcolor{red}{7\sqrt{6}}}$

\medskip

\item $\sqrt{20}-\sqrt{5}-\sqrt{45}=\sqrt{4\times 5}-\sqrt{5}-\sqrt{9\times 5}=2\sqrt{5}-\sqrt{5}-3\sqrt{5}=\boxed{\textcolor{red}{-2\sqrt{5}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Comparer, sans utiliser la calculatrice, les nombres suivants :

\begin{enumerate}[a)]

\item $6\sqrt{2}$ et $5\sqrt{3}$\\
$6\sqrt{2}=\sqrt{6^2\times 2}=\sqrt{72}$ et $5\sqrt{3}=\sqrt{5^2\times 3}=\sqrt{75}$.\\
$72<75$ donc $\sqrt{72}<\sqrt{75}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{6\sqrt{2}<5\sqrt{3}}}$
\medskip

\item $7\sqrt{2}$ et $3\sqrt{11}$.\\
$7\sqrt{2}=\sqrt{49\times 2}=\sqrt{98}$ ; $3\sqrt{11}=\sqrt{3^2\times 11}=\sqrt{99}>\sqrt{98}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{7\sqrt{2}<"\sqrt{11}}}$

\medskip

\item $-3\sqrt{7}$ et $5\sqrt{2}$ : $-3\sqrt{7}<0$ et $5\sqrt{2}>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{-3\sqrt{7}<5\sqrt{2}}}$ (sans calcul !)
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Brevet Aix-Marseille juin 2005}}

\begin{enumerate}[a)]

\item %Écrire sous la forme $a\sqrt{7}$ (où $a$ est un entier) le nombre C tel que : 
$C= 4\sqrt{7} - 8\sqrt{28}+ \sqrt{700}=4\sqrt{7}-8\times 2\sqrt{7}+10\sqrt{7}=\left(4-8+10\right)\sqrt{7}=\boxed{\textcolor{red}{6\sqrt{7}}}$.

\medskip

\item %Développer et simplifier : $\left(4\sqrt{5} + 2\right)^2$.
$\left(4\sqrt{5} + 2\right)^2=\left(4\sqrt{5} + 2\right)\left(4\sqrt{5} + 2\right)=4\sqrt{5}\times 4\sqrt{5}+4\sqrt{5}\times 2+2\times 4\sqrt{5}+2^2=16\times 5+8\sqrt{5}+8\sqrt{5}+4=\boxed{\textcolor{red}{84+16\sqrt{5}}}$ (en appliquant la double distributivité).\\
ou avec une identité remarquable :\\
$\left(4\sqrt{5} + 2\right)^2=\left(4\sqrt{5}\right)^2+2\times 4\sqrt{5}\times 2+2^2=16\times 5+8\sqrt{5}+4=\boxed{\textcolor{red}{84+8\sqrt{5}}}$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Brevet Antilles--Guyane juin 2005}}
$C= \left(3 - 4\sqrt{5}\right)\left(3 + 4\sqrt{5}\right)=3^2-\left(4\sqrt{5}\right)^2=9-16\times 5=9-80=\boxed{\textcolor{red}{-71\in\mathbb{Z}}}$ (en appliquant une identité remarquable : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$)



\label{fin}
\end{document}  