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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle sur les racines carrées}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 3 points}}
Déterminer, si possible, la racine carrée des nombres
suivants : si ce n'est pas possible, expliquer pourquoi.




\begin{enumerate}[a)]
\item $\sqrt{100}=\boxed{\textcolor{red}{10}}$

\bigskip

\item $\sqrt{9}=\boxed{\textcolor{red}{3}}$

\bigskip

\item -36 n'a pas de racine carrée car -36 est négatif

\bigskip

\item $\sqrt{(-8)^2}=\sqrt{64}=\boxed{\textcolor{red}{8}}$

\bigskip

\item $\sqrt{81 }=\boxed{\textcolor{red}{9}}$

\bigskip

\item -1 n'a pas de racine carrée car -1 est négatif.
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 3 points}}
%https://www.annales2maths.com/2nd-exercices-corriges-racines-carrees/
\noindent Mettre sous la forme $a\sqrt{b}$  où $a$  et $b$ sont des entiers naturels ($b$ étant le plus petit possible).
%\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{6^2\times 2}=\boxed{\textcolor{red}{6\sqrt{2}}}$


\begin{enumerate}[$A=~$]
\item $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{5^2\times 2}=\boxed{\textcolor{red}{5\sqrt{2}}}$.

\item $\sqrt{8}=\sqrt{2^2\times 2}=\boxed{\textcolor{red}{2\sqrt{2}}}$.

\bigskip

\item $\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=\sqrt{4^2\times 2}=\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt{2}}}$.

\bigskip

\item $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{2^2\times 3}=\boxed{\textcolor{red}{2\sqrt{3}}}$.
	
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4,5 points}}
\noindent Simplifier l’écriture de :


\begin{enumerate}[$A=~$]
\item  $2\sqrt{ 2}\times  \sqrt{50}=2\sqrt{2}\times 5\sqrt{2}=2\times 5\times \left(\sqrt{2}\right)^2=10\times 2=\boxed{\textcolor{red}{20}}$

\item $\sqrt{15} \times  3 \times  \sqrt{10}=\sqrt{3\times 5}\times 3\times \sqrt{2\times 5}=\sqrt{3}\times \sqrt{5}\times 3\times \sqrt{2}\times \sqrt{5}=3\times \left(\sqrt{5}\right)^2\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}=3\times 5\times \sqrt{2\times 3}=\boxed{\textcolor{red}{15\sqrt{6}}}$

\bigskip

\item  $2\sqrt{27}  \times  6\sqrt{ 3}=2\sqrt{9\times 3}\times 6\sqrt{3}=2\times \sqrt{3^2\times 3}\times 6\sqrt{3}=2\times 3\sqrt{3}\times 6\sqrt{3}=2\times 3\times \left(\sqrt{3}\right)^2\times 6=2\times 3\times 3\times 6=\boxed{\textcolor{red}{108}}$

\bigskip

\item $\sqrt{3}\times \sqrt{6}=\sqrt{3}\times \sqrt{2\times 3}=\sqrt{3}\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}=\left(\sqrt{3}\right)^2\times \sqrt{2}=\boxed{\textcolor{red}{3\sqrt{2}}}$

\bigskip

\item $\sqrt{5}\times \sqrt{20}=\sqrt{5}\times \sqrt{5\times 4}=\sqrt{5}\times \sqrt{5}\times \sqrt{4}=\left(\sqrt{5}\right)^2\times 2=5\times 2=\boxed{\textcolor{red}{10}}$\\
Autre méthode : $\sqrt{5}\times \sqrt{20}=\sqrt{5\times 20}=\sqrt{100}=\boxed{\textcolor{red}{10}}$

\bigskip

\item $\sqrt{12}\times \sqrt{27}=2\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}=2\times 3\times \left(\sqrt{3}\right)^2=6\times 3=\boxed{\textcolor{red}{18}}$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 2,5 points}}
%Brevet Réunion juin 2001
%Écrire $7\sqrt{12}+\sqrt{3}+15\sqrt{27}$ sous la forme $a\sqrt{3}$, où $a$ est un nombre entier.
$7\sqrt{12}+\sqrt3+15\sqrt{27}=7\times \sqrt{2^2\times 3}+\sqrt{3}+15\sqrt{3^2\times 3}=7\times 2\sqrt{3}+\sqrt{3}+15\times 3\sqrt{3}\\
=14\sqrt{3}+\sqrt{3}+15\times 3\sqrt{3}=\left(14+1+15\times 3\right)\sqrt{3}=\boxed{\textcolor{red}{60\sqrt{3}}}$

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 2 points}}

\noindent Un cercle de centre O et de rayon \SI{4}{cm} est inscrit dans un cercle. Il est alors tangent aux quatre côtés. (voir figure)\\
%Combien mesure la diagonale du carré ?
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8.5,8.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\psframe(0,0)(8,8)
\pscircle(4,4){2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=darkgray](4,4)
\uput[ul](4,4){O}
\psline(4,4)(8,4)
\uput[u](6,4){4}
\psline{<->}(0,8.2)(8,8.2)
\uput[u](4,8.2){8}
\psline{<->}(8.2,0)(8.2,8)
\uput[r](8.2,4){8}
\psline(0,8)(8,0)
\uput[l](5,3){$d$}
\end{pspicture}
\end{center}
Puisque le rayon du cercle est 4, le côté du carré mesure 8.\\
D'après le cours, la diagonale du carré vaut $\boxed{\textcolor{red}{d=8\sqrt{2}}}$\\
 (On peut la calculer en utilisant le théorème de Pythagore).

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 2 points}}
%Brevet Asie juin 2001
%\noindent On rappelle l'identité remarquable : \[\boxed{\textcolor{red}{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}}\textbf{}\] pour tous nombres réels $a$ et $b$.
%
%\bigskip

\noindent  $D=1 - \left(\sqrt{\numprint{2001}} + \sqrt{\numprint{2000}}\right)\times\left(\sqrt{\numprint{2001}}-\sqrt{\numprint{2000}}\right)=1-\left[\sqrt{\numprint{2001}}^2-\sqrt{\numprint{2000}}^2\right]=1-\left(\numprint{2001}-\numprint{2000}\right)=1-1=\boxed{\textcolor{red}{0}}$



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 3 points}}

\noindent Transformons les nombres suivants  pour qu'il n'y ait plus de racine carrée au dénominateur.

\begin{enumerate}[$A=~$]

\item $\dfrac{13}{\sqrt{3}}=\dfrac{13\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{13\sqrt{3}}{3}}}$

\item $\dfrac{7}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{7\times \left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=\dfrac{72-\sqrt{3}}{2^2-\sqrt{3}^2}=\dfrac{7\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=\dfrac{7\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}=\boxed{\textcolor{red}{7\left(2-\sqrt{3}\right)}}$

%\item $\dfrac{5}{7+\sqrt{2}}$
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  