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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle (milieux et longueur d'un segment) (sujet 2)}}\end{center}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(1,5 point)}}
Dans un repère, on considère les points $A(3~;~4)$ et $B(4~;~-8)$.\\
%Déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$.
$x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{3+4}{2}=\dfrac{7}{2}$\\
$y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{4+(-8)}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$.\\
Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{7}{2}~;~-2\right)}}$

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(1,5 point})}
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(5~;~3)$ et $B(2~;~5)$.\\
%Calculer la valeur exacte de la longueur $AB$.
$AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(2-5)^2+(5-3)^2}=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{13}}}$.

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
\parbox{11cm}{Dans un repère (O~;~I~;~J) orthonormal, on donne les points R(2~;~-3), S(-1~;~-2), T(1~;~4) et U(4~;~3).
\begin{enumerate}[1)]
\item %Placer les points dans le repère.
Voir figure à la fin de l'exercice.

\item %Quelle conjecture peut-on faire sur la nature du quadrilatère RSTU ?
RSTU semble un rectangle

\item %Déterminer les coordonnées du point $M$, milieu du segment $[RT]$.
$x_M=\dfrac{x_R+x_T}{2}=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{3}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_R+y_T}{2}=\dfrac{-3+4}{2}=\dfrac{1}{2}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$

\item %Déterminer les coordonnées du point $M'$, milieu du segment $[SU]$.
De même : $x_{M'}=\dfrac{x_S+x_U}{2}=\dfrac{-1+4}{2}=\dfrac{3}{2}$ et\\
 $y_{M'}=\dfrac{y_S+y_U}{2}=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{M'\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$

\item %Justifier la conjecture faite à la question 2)
$M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées donc $\boxed{\textcolor{red}{M=M'}}$. Les diagonales du quadrilatère $RSTU$ ont le même milieu donc c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.\\
Montrons que c'est un rectangle.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $SR=\sqrt{(2-(-1))^2+(-3-(-2))^2}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$.

\item $ST=\sqrt{(1-(-1))^2+(4-(-2))^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}\\=\sqrt{40}$.

\item $RT=\sqrt{1-(2))^2+(4-(-3))^2}=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{1+49}\\=\sqrt{50}$

\item $RT^2=50$~;~$SR^2+ST^2=10+40=50$ donc $RT^2=SR^2+ST^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $RST$ est rectangle en $S$.\\
$RSTU$ est un parallélogramme avec un angle droit, c'est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{8cm}
{\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-2)(4,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-4)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-4)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,-3)(-1,-2)(1,4)(4,3)
\uput[d](2,-3){R}
\uput[ul]{S}(-1,-2){S}
\uput[ul](1,4){T}
\uput[u](4,3){U}
\pspolygon[linewidth=2pt,linecolor=red](2,-3)(-1,-2)(1,4)(4,3)
\end{pspicture}
\end{center}
}





\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J), on considère les points A (2~;~1), B (4~;~4) et C (6~;~1).
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer les longueurs AB, AC et BC.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{(4-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$.

\item $AC=\sqrt{(6-2)^2+(1-1)^2}=\sqrt{4^2+0^2}=4$

\item $BC=\sqrt{(6-4)^2+(1-4)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.
\end{enumerate}


\item %Donner la nature du triangle ABC.
$AB=BC=\sqrt{13}$ donc $ABC$ est isocèle en B

\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé (0~;~I~;~J), on considère les points  A(-1~;~- 1), B(5~;~3), F(4; 4). 
\begin{enumerate}

\item %Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.
$x_I=\dfrac{-1+5}{2}=2$ ; $y_I=\dfrac{3+(-1)}{2}=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{I(2~;~1)}}$.

\item %Calculer le rayon du cercle $\mathscr{C}$ de diamètre [AB]. 
Le rayon $r$ du cercle $\mathscr{C}$ de diamètre [AB] est $r=IA=\sqrt{(-1-2)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$. $\boxed{\textcolor{red}{IA=\sqrt{13}}}$

\item %Démontrer que F appartient au cercle $\mathscr{C}$.
$IF=\sqrt{(4-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}=r$.\\
$IF=r=\sqrt{13}$ donc $F$ appartient au cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{13}$.

\end{enumerate}





\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
\noindent À partir de la figure :
\begin{enumerate}[1)]
\item %donner les images des points $C$, $D$, $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
L'image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $Y$.\\
L'image de $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $Z$.\\
L'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $D$.

\item %citer trois vecteurs égaux au vecteur $\overrightarrow{AB}$.
On en déduit que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CY}=\overrightarrow{DZ}=\overrightarrow{ED}$

\item% citer les trois parallélogrammes définis par les trois égalités vectorielles du 2)
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CY}$ donc $ABYC$ est un parallélogramme.

\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DZ}$ donc $ABZD$ est un parallélogramme.

\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ED}$ donc $ABDE$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=0.8}
\begin{pspicture}(0,0)(8,8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,5)(4,6)(2,2)(4,2)(1,1)(6,2)(5,3)(7,3)
\uput[l](1,5){A}
\uput[u](4,6){B}
\uput[u](2,2){C}
\uput[d](4,2){D}
\uput[d](1,1){E}
\uput[d](6,2){X}
\uput[u](5,3){Y}
\uput[u](7,3){Z}
\psline[linewidth=2pt]{->}(1,5)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(8,8)
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Soient A, B et C trois points. (Voir figure).
\begin{enumerate}
\item  Construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. Voir figure

\item Construire le point $E$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}$. Voir figure

\item %Que peut-on dire du point $C$ ? Justifier.
Par construction, on a : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ et  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}$ donc $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{CD}$.\\
On en déduit que $C$ est le milieu de $[ED]$

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1}
\begin{pspicture}(-2,0)(8,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,1)(5,2)(3,4)
\uput[d](1,1){A}
\uput[d](5,2){B}
\uput[u](3,4){C}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,0)(8,6)
\psline{->}(1,1)(5,2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](7,5)
\uput[ul](7,5){D}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-1,3)
\uput[ul](-1,3){E}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(3,4)(7,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(-1,3)(3,4)
\end{pspicture}

\end{center}

\label{fin}
\end{document}  