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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 5 (milieu et longueur d'un segment)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère les points A(3~;~4) et B(2~;~2) du plan muni d’un repère (O~;~I~;~J).\\
%Déterminer les coordonnées du milieu $M$ de [AB].
$M$ est e milieu de $[AB]$.\\
$x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{3+2}{2}=\dfrac{5}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{4+2}{2}=\dfrac{6}{2}\\
=3$. D'où : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{5}{2}~;~3\right)}}$


\subsection{}

On considère un repère du plan. Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées du milieu $M$ de [AB]

On applique les mêmes formules : $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
\begin{enumerate}[a)]
\item A(1~;~-5) et B(3~;~-9) : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(2~;~-7\right)}}$.

\item A(-2~;~1) et B(2~;~0) : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$.

\item $A(-3~;~\sqrt{2})$ et $B(2~;~-\sqrt{2})$ : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(-\dfrac{5}{2}~;~0\right)}}$.

\item A(1~;~-3) et B(-1~;~3) : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(0~;~-3\right)}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère (O~;~I~;~J) du plan, on considère les points $A(1~;~-2)$, $B(6~;~1)$, $C(9~;~2)$ et $D(4~;~-1)$.\\
%$ABCD$ est-il un parallélogramme ?
Soit $M$ le milieu de la diagonale $[AC]$ ; \\
$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+9}{2}=5$ et \\
$y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-2+2}{2}=0$.\\
Soit $M'$ le milieu de la diagonale $[BD]$ ; \\
$x_{M'}=\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{6+4}{2}=5$ et\\
 $y_{M'}=\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{1(-1)2}{2}=0$.\\ 
$M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées donc $M=M'$.\\
Les diagonales du quadrilatère ABCD ont le même milieu, donc ABCD est un parallélogramme.

\subsection{}

Dans un repère du plan, on considère les points E(3~;~4), F(6~;~6) et G(4~;~-1).\\
%Calculer les coordonnées du point H tel que EFGH soit un parallélogramme.
Soit $M$ le milieu de $[EG]$ : $M\left(\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$.\\
Pour que $EFGH$ soit un parallélogramme, les deux digonales doivent avoir le même milieu.\\
$M$ doit aussi être le milieu de $[FH]$.\\
On doit avoir :\\
$\begin{cases}x_M=\dfrac{x_F+x_H}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_F+y_H}{2}\end{cases}$ donc $\begin{cases}\dfrac{7}{2}=\dfrac{6+x_H}{2}\\\\\dfrac{3}{2}=\dfrac{6+y_H}{2}\end{cases}$.\\
On en déduit : $\begin{cases}6+x_H=7\\6+y_H=3\end{cases}$ donc $\begin{cases}x_H=1\\y_H=-3\end{cases}$.\\
Pour que $EFGH$ soit un parallélogramme, il faut que $H$ ait pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{H(1~;~-3)}}$.

\subsection{}
Dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J), on considère les points $A(3~;~7)$ et $B(8~;~-2)$.\\
%Quelles sont les coordonnées du centre du cercle de diamètre $[AB]$ ?
Le centre du cercle de diamètre $[AB]$  est le milieu $M$ de $[AB]$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{11}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.

\subsection{}
$(O~;~I~;~J)$ est un repère orthonormé.\\
Soient $A(2~;~1)$ et $B(5~;~6)$.\\
%Calculer la valeur exacte de la longueur $AB$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(6,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(6,7)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](2,1)(5,6)
\psframe(0.5,0.5)
\uput[ul](2,1){A}
\uput[ur](5,6){B}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,1)(5,6)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=3pt](2,1)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=3pt](5,1)(5,6)
\uput[d](3.5,1){3}
\uput[r](5,3.5){5}
\end{pspicture}

\end{center}
\noindent On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle obtenu en traçant des parallèles aux axes en partant de $A$ et $B$.\\
On en déduit : $AB^2=3^2+5^2=9+25=34$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{34}}}$.

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  