\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du TD \no 20 (statistiques)}}\end{center}

\subsection{}
Lorsque le caractère étudié est quantitatif discret (valeurs séparées), on peut représenter la série statistique par un diagramme en bâtons : La hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence) associée à chaque valeur.\\
Voici le diagramme en bâtons représentant une série de notes obtenues par une classe à un contrôle.
\begin{center}
\psset{xunit=0.7,yunit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(21,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(21,7)
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\psline[linewidth=2pt](2,0)(2,1)
\psline[linewidth=2pt](4,0)(4,2)
\psline[linewidth=2pt](5,0)(5,1)
\psline[linewidth=2pt](6,0)(6,1)
\psline[linewidth=2pt](7,0)(7,3)
\psline[linewidth=2pt](8,0)(8,4)
\psline[linewidth=2pt](9,0)(9,5)
\psline[linewidth=2pt](10,0)(10,6)
\psline[linewidth=2pt](11,0)(11,2)
\psline[linewidth=2pt](12,0)(12,4)
\psline[linewidth=2pt](14,0)(14,3)
\psline[linewidth=2pt](17,0)(17,1)
\multido{\n=0+1}{7}{\psline(0,\n)(21,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopiez et conplétez le tableau suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Notes&2&4&5&6&7&8&9&10&11&12&14&17&\cellcolor{red!30}Total\\
\hline
Effectif&1&2&1&1&3&4&5&6&2&4&3&1&\cellcolor{red!30}33\\
\hline
\end{tabularx}

\item %Calculer la moyenne de la classe.
La moyenne est :\\
$\overline{x}=\dfrac{(1\times 2)+(2\times 4)+\cdots+(1\times 17)}{33}=\dfrac{308}{33}\approx \boxed{\textcolor{red}{9,33}}$
\end{enumerate}



\subsection{}
Calculer la moyenne de la série suivante.\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Valeurs $x_i$&17&20&25&35&48&60\\
\hline
Effectifs $n_i$&5&10&5&8&12&13\\
\hline
$n_i\times x_i$&85&200&125&280&576&780\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
La moyenne est $\overline{x}=\dfrac{\numprint{2046}}{53}\approx 38,6$


\subsection{\textcolor{blue}{Calculs de médianes}}


\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Exemple 1}}, avec des notes obtenues par les élèves d'une classe à un contrôle

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Note sur 10&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
Nombre d'élèves&0&1&1&0&3&4&5&3&3&1&2\\
\hline
Effectifs cumulés croissants&0&1&2&2&5&9&14&17&20&21&23\\
\hline
\end{tabularx}

%Calculer la note médiane.
L'effectif total est $N=23$, nombre impair.\\
$N=2\times 11+1=2p+1$ avec $p=11$.\\
La médiane est la valeur $x_{p+1}=x_{12}$, donc la douzième valeur. $\boxed{\textcolor{red}{\text{Me}=6}}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Exemple 2}}, avec des notes obtenues par les élèves d'une autre classe à un contrôle :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Note sur 10 &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
Nombre d'élèves	&0&1&2&8&7&5&3&2&2&2&2\\
\hline
Effectifs cumulés&0&1&3&11&18&23&26&28&30&32&34\\
\hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}
L'effectif total est $N=34$, nombre pair.\\
$N=2p$ avec $p=17$.\\
La médiane est $\dfrac{x_p+x_{p+1}}{2}=\dfrac{3+4}{2}=\dfrac{7}{2}$

\subsection{\textcolor{blue}{Linéarité de la moyenne}}




Soit une série statistique de $N$ nombres $x_1$~;~$x_2$~;~\dots~;~$x_N$.

\begin{enumerate}
\item %Rappeler la formule permettant de calculer la moyenne $\overline{x}$ ?
La moyenne est $\boxed{\textcolor{red}{\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}}}$

\item Soit $b$ un nombre réel.\\
%Montrer que, si l'on ajoute le nombre $b$ à toutes les valeurs de la série, la moyenne devient $\overline{x}+b$.
La moyenne est alors :\\
$\dfrac{\left(x_1+b\right)+\left(x_2+b\right)+\left(x_3+b\right)+\cdots+\left(x_N+b\right)}{N}\\
=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_N+N\times b}{N}=\dfrac{V}{N}+\dfrac{\cancel{N}b}{\cancel{N}}=\overline{x}+b$.\\
Si on augmente toutes les valeurs de $b$, la moyenne augmente de $b$.\\
Symboliquement, on écrit : $\boxed{\textcolor{red}{\overline{x+b}=\overline{x}+b}}$

\item %Montrer que, si l'on multiplie toutes les valeurs de la série par $a$, la moyenne devient $a\overline{x}$.
On multiplie toutes les valeurs par $a$.\\
La moyenne devient :\\
$\dfrac{ax_1+ax_2+ax_3+\cdots+ax_N}{N}=\dfrac{a\left(x_1+x_2+\cdots+x_N\right)}{N}=a\times \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}=a\times \overline{x}$.\\
Si on multiplie toutes les valeurs de la série par $a$, la moyenne st multipliée par $a$.\\
Symboliquement : $\boxed{\textcolor{red}{\overline{ax}=a\overline{x}}}$

\item %En déduire la formule $\overline{ax+b}=a\overline{x}+b$
En combinant les deux propriétés, on obtient : $\boxed{\textcolor{red}{\overline{ax+b}=a\overline{x}+b}}$.\\
Cette propriété s'appelle \textbf{\textcolor{red}{linéarité de la moyenne}}

\item Lors d'un contrôle, un professeur décide de remonter  les notes de tous les élèves de 2 points.\\
%Que se passe-t-il pour la moyenne de la classe ?
La moyenne de la classe augment de 2 points.

\end{enumerate}

\subsection{}
On a relevé le nombre de macarons vendus quotidiennement pendant une semaine dans une grande pâtisserie.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Lundi&Mardi&Mercredi&Jeudi&Vendredi& Samedi&Dimanche\\
\hline
\begin{minipage}{2.7cm}
Nombre de macarons vendus
\end{minipage}&324&240&310&204&318&386&468\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
%Déterminer le nombre médian de macarons vendus cette semaine-là.
On range les valeurs correspondantes au nombre de macarons vendus dans l’ordre croissant : 204~;~240~;~310~;~318~;~324~;~386~;~468.\\
L’effectif total est 7 (nombreimpair) ; $7=2\times 3+1=2p+1$ avec $p=3$.\\
La médiane est la valeur $x_ {p+1}=x_4$, donc la 4\ieme{} valeur de la série ordonnée, c’est-à-dire 318.\\
Le nombre médian de macarons est donc de $\boxed{\textcolor{red}{318}}$.

\subsection{}

On a relevé, dans un jeu télévisé, le nombre de candidats ayant répondu correctement à une liste de questions.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre de bonnes réponses &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\
\hline
Effectif &1 &2 &5 &8 &15 &45 &32 &21 &9 &2 \\
\hline
\rowcolor{red!20}Effectifs cumulés croissantes&1&3&8&16&31&76&108&129&138&140\\
\hline
\end{tabularx}
%Déterminer, en justifiant, le premier et troisième quartile ainsi que l'écart interquartile de cette série statistique. 

Pour trouver les quartiles, on calcule les effectifs cumulés croissants. (voir tableau).\\
L'effectif total est $N=140$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Calcul du rang du premier quartile :\\
$\dfrac{N}{4}=\dfrac{140}{4}=\dfrac{70}{2}=35$.\\
Le premier quartile est la 35\ieme{} valeur. Ainsi : $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=6}}$.

\item Calcul du rang du troisième quartile :\\
$3\times \dfrac{N}{4}=3\times \dfrac{140}{4}=3\times \dfrac{70}{2}=3\times 35=105$.\\
Le troisième quartile est la 105\ieme{} valeur. Ainsi : $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=7}}$.

\item L'écart interquartile est $Q_3-Q_1=7-6=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  