\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde 6 : correction du TD (révisions)}}\end{center}
%Sources : https://www.capes-de-maths.com/3eme/Devoirs1011/Pythagore.pdf






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère le triangle suivant :
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,4)
\pstGeonode(0,0){G}
\pstGeonode[PosAngle=90](0,3.245){Z}
\pstGeonode[PosAngle=90](5.4,3.245){A}
\pstRightAngle{G}{Z}{A}
\pstLineAB{G}{Z}
\pstLineAB{A}{Z}
\pstLineAB{G}{A}
\pstLabelAB{Z}{A}{5,4 cm}
\pstLabelAB{G}{A}{6,3 cm}
\end{pspicture}
\end{center}
%Calculer la longueur GZ.
Le triangle GAZ est rectangle en $Z$.\\
On applique le théorème de Pythagore : $GA^2=GZ^2+ZA^2$ donc $GZ^2=GA^2-ZA^2=6,3^2-5,4^2=10,53$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{GZ=\sqrt{10,53}}}$ (valeur exacte)

\subsection{}
On considère la figure suivante :\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3,1.5)
\pstGeonode[PosAngle=180](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=-90](1,0){C}\pstGeonode[PosAngle=0](2,1){D}\pstGeonode[PosAngle=135](0,1){B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslash]{A}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslash]{A}{C}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{C}{D}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{C}{B}
\pstLineAB{B}{D}
\pstLabelAB[nrot=:D]{C}{A}{1 cm}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{C}{A}{B}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{D}{C}{B}
\end{pspicture}
\end{center}
%Calculer la longueur BD.
La figure est codée : $AB=AC=1$ cm.\\
$ABC$ est rectangle en $A$ ; d'près le théorème de Pythagore, $BC^2=1^2+1^2=2$ donc $BC=\sqrt{2}$.\\
De même, $CB=CD$.\\
Le théorème de Pythagore donne : $BD^2=CB^2+CD^2=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2=2+2=4$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{BD=2\text{~cm}}}$

\subsection{}
Dire, en justifiant soigneusement, si les triangles suivants sont rectangles ou non.

\begin{enumerate}
\item ABC vérifiant AB=15 m, AC=20 m et CB=25 m.\\
Le plus grand côté est $CB=25$.\\
$CB^2=25^2=625$.\\
$AB^2+AC^2=15^2+20^2=225+400=625$.\\
Donc : $CB^2=AB^2+AC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en A.

\item DEF vérifiant DE=5 km, EF = 6 km et   FD = $\sqrt{11}$ km.\\
Le plus grand côté est $EF=6$.\\
$EF^2=6^2=36$.\\
$DE^2+FD^2=5^2+\sqrt{11}^2=25+11=36$ donc $EF^2=DE^2+FD^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ est rectangle en D.

\item GHI vérifiant GH = 16 cm, HI= 13 cm et IG=11 cm.\\
Le plus grand côté est $GH$.\\
$GH^2=16^2=256$.\\
$HI^2+IG^2=13^2+11^2=169+121=290$.\\
$GH2\neq HI^2+IG^2$ ; d'après la contraposée du théorème de Pythagore, $GHI$ n'est pas rectangle.

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la figure suivante.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,6)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(6,5)
\pstGeonode[PosAngle=-90](1,0){R}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,3){C}
\pstGeonode[PosAngle=45](0,0){S}
\pstGeonode[PosAngle=45](6,5){A}
\pstGeonode[PosAngle=0](6,0){Z}\pstGeonode[PosAngle=135](0,5){T}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{R}{A}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{A}{C}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{C}{R}
\end{pspicture}
\end{center}
%Le triangle $RAC$ est-il rectangle ?
On utilise le quadrillage pour mesurer les longueurs, en prenant comme unité de longueur un côté des carrés constituant le quadrillage.\\
On applique plusieurs fois le théorème de Pythagore :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $CR^2=RS^2+SC^2=1^2+3^2=10$.

\item $RA^2=RZ^2+ZA^2=5^2+5^2=50$

\item $CA^2=CT^2+TA^2=2^2+6^2=40$
\end{enumerate}
$RA^2=50$ et $CR^2+CA^2=50$ donc $RA^2=CR^2+CA^2$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, $RAC$ est rectangle (en $C$).


\end{multicols}
\subsection{\textcolor{blue}{Écran plat}}
Un client a choisi un écran dont voici les dimensions (voir figure) : 
\begin{center}
\psset{xunit=0.2,yunit=0.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(17.5,11)
\psframe[fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2,-2)(17.3,10.6)
\psframe[fillcolor=white!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(15.3,8.6)
\psline{<->}(0,-2)(15.3,-2)
\uput[u](7,0){$L=15,3\text{ cm}$}
\uput[r]{90}(0,4){$\ell=8,6\text{ cm}$}
\uput[ul](0,8.6){A}
\uput[ur](15.3,8.6){B}
\uput[ur](15.3,0){C}
\uput[ul](0,0){D}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Calculer la diagonale AC de l’écran. Arrondir à 0,1 cm. 
D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $ADC$, $AC^2=15,3^2+8,6^2=308,05$ donc $AC=\sqrt{308,05}\approx 17,6\si{cm}$

\item Un écran est dit \og{}16/9 ème\fg{} lorsque ses dimensions vérifient la relation $\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{16}{ l9}$.\\
%L’écran précédent est-il un \og{}16/9 ème\fg{}? Justifier la réponse.
$\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{15,3}{8,6}=\dfrac{153}{86}$ qui est une fraction irréductible, donc $\dfrac{L}{\ell}\neq\dfrac{16}{9}$.\\
Cependant : $\dfrac{15,3}{8,6}-\dfrac{16}{9}\approx 0,001$ donc $\dfrac{15,3}{8,6}\approx\dfrac{16}{9}$ ; l'erreur vient de ce que les longueurs ont été arrondies ; c'est bien un téléviseur de format \og{}16/9 ème\fg{}.\\

\bigskip
Remarque: les \og{}anciens\fg{} téléviseurs sont de format \og{}4/3 ème\fg{}, c'est-à-dire $\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{4}{3}$.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  