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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Vecteurs (deuxième partie)}}\end{center}


\subsection{ \textcolor{red}{Somme de deux vecteurs}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}

\parbox{10cm}
{Le point B est l'image du point A par la translation de vecteur  $\overrightarrow{AB}$.
\noindent 
Le point C est l'image du point B par la translation de vecteur  $\overrightarrow{BC}$.
\noindent 
On applique \textbf{\textcolor{red}{successivement}} les deux translations.
\noindent 
Cela revient à n'en appliquer qu'une seule (on va directement de A en C, sans passer par B).
Cette translation qui permet de passer de A en C est la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.
\noindent 
Ainsi définit-on une définition sur les vecteurs.}\hfill
\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{unit=0.6,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(7,4)
\psline{->}(-0.94,3.36)(5.14,1.84)
\psline{->}(5.14,1.84)(6.36,-2.36)
\psline{->}(-0.94,3.36)(6.36,-2.36)
\psdots[linecolor=blue](-0.94,3.36)
\rput[bl](-0.86,3.48){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.14,1.84)
\rput[bl](5.22,1.96){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](6.36,-2.36)
\rput[bl](6.44,-2.24){\blue{$C$}}
\rput[bl](2.1,2.68){$\overrightarrow{AB}$}
\rput[bl](5.8,-0.24){$\overrightarrow{BC}$}
\uput[l]{-38}(3.8,-0.16){$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\bigskip

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (relation de Chasles)}}
Pour tous points A, B et C, on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
\end{bclogo}
\end{minipage} 

\emph{Michel Chasles, né le 15 novembre 1793 à Épernon en Eure-et-Loir et mort le 18 décembre 1880 à Paris, est un mathématicien français, spécialisé en géométrie, notamment projective.\\
Pour plus de précisions cliquer \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Michel_Chasles}{ici} }
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Le segment d'extrémités A et C est la diagonale du parallélogramme dont $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont deux côtés consécutifs.
 
 \bigskip
 
\textbf{ \textcolor{blue}{Exemples}} :
\begin{enumerate}[a)]
\item  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BC}=\underbrace{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}_{\overrightarrow{AC}}+\overrightarrow{CE}=\underbrace{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}}_{\overrightarrow{AE}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AE}}}$ (en utilisant deux fois la relation de Chasles)

\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$ (vecteur nul, caractéridsant une translatioon qeui laisse tus les points immobiles, donc de mouvement \og{}nul\fg{}).\\
Par analogie avec les nombres, on dit que $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ (vecteur opposé au vecteur $\overrightarrow{AB}$)

\end{enumerate}
 
 
\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme de deux vecteurs de même origine :}}

\noindent 
On veut construire la somme de deux vecteurs de même origine $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(8,4)
\psline{->}(0.22,3.52)(5.42,3.38)
\psline{->}(0.22,3.52)(1.84,0.68)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.84,0.68)(7.04,0.54)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5.42,3.38)(7.04,0.54)
\psline[linecolor=red]{->}(0.22,3.52)(7.04,0.54)
\psdots[linecolor=blue](0.22,3.52)
\rput[bl](0.3,3.64){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.42,3.38)
\rput[bl](5.5,3.5){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1.84,0.68)
\rput[bl](1.92,0.8){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.04,0.54)
\rput[bl](7.12,0.66){\darkgray{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

On introduit le point D tel que ABDC soit un parallélogramme ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$). Ce point se construit au compas, puisque l'on doit avoir AB = CD et AC = BD.
\noindent 
Alors : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$ (\textbf{\textcolor{red}{relation de Chasles}}).

\bigskip


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Soit ABDC un parallélogramme.
\noindent 
On a vu précédemment que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$.
\noindent 
On voudrait représenter également $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.
\noindent 
On a : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}}$ en appliquant la relation de Chasles. On remarque que l'on obtient l'autre diagonale du parallélogramme.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(8,4)
\psline{->}(0.22,3.52)(5.42,3.38)
\psline{->}(0.22,3.52)(1.84,0.68)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.84,0.68)(7.04,0.54)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5.42,3.38)(7.04,0.54)
\psline[linecolor=red]{->}(0.22,3.52)(7.04,0.54)
\psdots[linecolor=blue](0.22,3.52)
\rput[bl](0.3,3.64){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.42,3.38)
\rput[bl](5.5,3.5){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1.84,0.68)
\rput[bl](1.92,0.8){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.04,0.54)
\rput[bl](7.12,0.66){\darkgray{$D$}}
\psline[linecolor=blue]{->}(1.84,0.68)(5.42,3.38)
\rput{-20}(2,3){$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$}
\rput{30}(4,2.7){$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$}

\end{pspicture*}

\end{center}



\subsection{\textcolor{red}{Multiplication d'un vecteur par un réel}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Rappel}}
Soit $k$ un réel. On note $\left\vert k \right\vert$ (\og{}se lit valeur absolue de $k$\fg{}), le nombre défini par :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left\vert k \right\vert=k$ si $k>0$

\item $\left\vert k\right\vert =-k$ si $k<0$
\end{enumerate}.\\
$\left\vert k \right\vert$ est donc toujours un nombre positif et représente la distance de $k$ à l'origine sur une droite graduée.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : \\
$\left\vert 2 \right\vert=2$ car 2>0\\
$\left\vert -3 \right\vert=-(-3)=3$ car $-3<0$

\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,1)
\psline(-5,0)(5,0)
\psline(0,0.2)(0,-0.2)\psline(2,0.2)(2,-0.2)\psline(-3,0.2)(-3,-0.2)
\uput[d](-3,0){-3}\uput[d](0,0){0}\uput[d](2,0){2}
\psline{<->}(-3,0.2)(0,0.2)
\psline{<->}(0,-0.2)(2,-0.2)
\uput[u](-1.5,0.2){$\left\vert -3 \right\vert=3$}
\uput[u](1,0.2){$\left\vert 2 \right\vert=2$}
\end{pspicture}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Notation}}
La \og{}longueur\fg{} d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ se note $\vert\vert \overrightarrow{u} \vert\vert$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\vert\vert \overrightarrow{AB} \vert\vert=AB$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et soir $k$ un réel non nul.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $k\overrightarrow{u}$ ont la même direction.

\item Si $k>0$, $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens. Si $k<0$, les deux vecteurs sont de sens contraire.

\item La norme de $k\overrightarrow{u}$ est $\left\vert k \right\vert$ fois celle de $\overrightarrow{u}$.\\
$\vert\vert k\overrightarrow{u} \vert\vert=\left\vert k \right\vert\times \vert\vert \overrightarrow{u} \vert\vert$.
\end{enumerate}

\bigskip
Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ et pour tout réel $k$ : $0\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ et $k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

\end{bclogo}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : 
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-1.)(10.,4.)
\psline{->}(0.,0.)(6.,0.)
\psline{->}(0.,1.)(9.,1.)
\psline{->}(0.,2.)(-3.,2.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
\rput[bl](0.08,0.12){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.,0.)
\rput[bl](6.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,1.)
\rput[bl](0.08,1.12){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,2.)
\rput[bl](0.08,2.12){\xdxdff{$E$}}
\rput[bl](3.,0.08){$\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.,1.)
\rput[bl](9.08,1.12){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](4.5,1.08){$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3.,2.)
\rput[bl](-2.92,2.12){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](-1.5,2.1){$-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\bigskip

Remarque : si $M$ est le milieu d'un segment $[AB]$, alors $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
\begin{center}
\psset{xunit=,yunit=,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,1)
\psline{->}(0,0)(6,0)
\psdots(0,0)(3,0)(6,0)
\uput[d](0,0){A}\uput[d](3,0){M}\uput[d](6,0){B}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Pour tous réels $k$ et $k'$, pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $k\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$.

\item $k\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$.

\item $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ si, et seulement si, $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}


\label{fin}
\end{document}  