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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}.\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Factorisation d'une expression algébrique}}\end{center}
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Factorisations}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Factoriser une expression algébrique consiste à la transformer(lorsque c'est possible) pour qu'elle soit sous la forme d'un produit de facteurs le plus simples possibles.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque : }} Toutes les expressions algébriques ne sont pas factorisables dans $\mathbb{R}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $x^2+1$ ne peut pas se factoriser dans $\mathbb{R}$.




\subsection{\textcolor{blue}{Règles utilisées pour factoriser une expression}}
On utilise essentiellement ces cinq règles, dont les trois identités remarquables .

\bigskip


\parbox{8cm}{\textbf{\textcolor{red}{Avec un facteur commun :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $ab+ac=a(b+c)$

\bigskip

\item $ab-ac=a(b-c)$

\end{enumerate}}\hfill
\parbox{8cm}{

\textbf{\textcolor{red}{Avec une identité remarquable :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

\item $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

\item $a^2-b^2=(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)$

\end{enumerate}}



\subsection{\textcolor{blue}{Comment factoriser une expression algébrique ?}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Méthode}}
\begin{itemize}
\item On recherche d'abord si l'expression a un facteur commun (évident ou pas) pour utiliser l'une des deux premières règles.

\item S'il n'y pas de facteur commun, on essaye de voir si l'on peut appliquer une identité remarquable.

\item Il peut y avoir les deux cas combinés.

\item Dans des cas rares, il faut d'abord développer, simplifier, puis factoriser le résultat.
\end{itemize}
\end{bclogo}

\bigskip


Les exemples qui suivent ont pour but de vous montrer les différents cas possibles. La liste n'est évidemment pas exhaustive ; on ne devient \og bon \fg~dans les factorisations qu'en s'entraînant beaucoup.



\subsection{\textcolor{blue}{Exemples avec un facteur commun}}
\begin{enumerate}[1)]
\item $2\textcolor{red}{x}y+3\textcolor{red}{x}z=\boxed{\textcolor{red}{x(2y+3z)}}$

\bigskip

\item $x^2-3x=\textcolor{red}{x}\times x-3\textcolor{red}{x}=\boxed{\textcolor{red}{x(x-3)}}$

\bigskip

\item \textbf{\textbf{Factoriser}} $(2x+3)(5x+7)+(2x+3)(-2x+9)$.\\
On essaye de voir comment est constituée l'expression pour voir quelle règle l'on va utiliser.\\\\
$\underbrace{\textcolor{red}{(2x+3)}}_{a}\underbrace{(5x+7)}_{b}+\underbrace{\textcolor{red}{(2x+3)}}_{a}\underbrace{(-2x+9)}_{c}\\
=ab+ac$ en posant : $\left\{\begin{array}{l}a=2x+3\\b=5x+7\\c=-2x+9\end{array}\right.\\
=a(b+c)\\
=(2x+3)\left[(5x+7)+(-2x+9)\right] \text{(en remplaçant a, b et c par leurs expressions)}\\
=(2x+3)(5x+7-2x+9)\\
=(2x+3)(3x+16)$\\
donc : $\boxed{\textcolor{red}{(2x+3)(5x+7)+(2x+3)(-2x+9)=(2x+3)(3x+16)}}$

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(3x+5)(7x-4)-(5x-3)(3x+5)$.\\
$\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\underbrace{(7x-4)}_{b}-\underbrace{(5x-3)}_{c}\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\\
=\textcolor{red}{a}b-c\textcolor{red}{a}$ en posant : $\left\{\begin{array}{l}a=3x+5\\b=7x-4\\c=5x-3\end{array}\right.$\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} $ab-ca=ab-ac=a(b-c)$. En rempla\c cant $a$, $b$ et $c$ par leurs expressions, on trouve :\\
$(3x+5)\left[(7x-4)-(5x-3)\right]\\
=(3x+5)(7x-4-5x+3) \text{(attention au signe - devant la parenthèse)}\\
=(3x+5)(2x-1)$\\
donc : $\boxed{\textcolor{red}{(3x+5)(7x-4)-(5x-3)(3x+5)=(3x+5)(2x-1)}}$

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(7x+1)^2-(7x+1)(3-2x)$.\\
On remarque que : $(7x+1)^2-(7x+1)(3-2x)=\underbrace{\textcolor{red}{(7x+1)}}_{a}\underbrace{(7x+1)}_{a}-\underbrace{\textcolor{red}{(7x+1)}}_{a}\underbrace{(3-2x)}_{b}\\
=\textcolor{red}{a}a-\textcolor{red}{a}b$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=7x+1\\b=3-2x\end{array}\right.\\
=a(a-b)\\
=(7x+1)\left[(7x+1)-(2-3x)\right]\\
=(7x+1)(7x+1-2+3x)\\
=(7x+1)(10x-1)$\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{(7x+1)^2-(7x+1)(3-2x)=(7x+1)(10x-1)}}$.


\newpage


\item \textbf{Factoriser} $(x+3)^2-(x+3)$.\\
Il est \og{}clair\fg{} que $(x+3)$est un facteur commun.\\
$(x+3)^2-(x+3)\\
=\underbrace{\textcolor{red}{(x+3)}}_{a}\times \underbrace{(x+3)}_{a}-\underbrace{(x+3)}_{a}\times 1\\
=\textcolor{red}{a}\times a-\textcolor{red}{a}\times 1$ avec $a=(x+3)\\
=a(a-1)\\
=(x+3)[(x+3)-1]\\
=(x+3)(x+2)$.\\
D'où : $\boxed{\textcolor{red}{(x+3)^2-(x+3)=(x+3)(x+2)}}$.


\subsection{\textcolor{blue}{Avec un facteur commun moins apparent}}


\item \textbf{Factoriser} : $(3x+5)(2x+7)-(6x+10)(x+13)$.\\
Il n'y pas de facteur commun apparent, mais il est clair que $6x+10=2(3x+5)$.\\
Par conséquent : $(3x+5)(2x+7)-(6x+10)(x+13)=(3x+5)(2x+7)-2(3x+5)(x+13)$.\\
$\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\underbrace{(2x+7)}_{b}-2\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\underbrace{(x+13)}_{c}\\
=\textcolor{red}{a}b-2\textcolor{red}{a}c$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=3x+5\\b=2x+7\\c=x+13\end{array}\right.\\
=a(b-2c)\\
=(3x+5)\left[(2x+7)-2(x+13)\right]\\
=(3x+5)(2x+7-2x-26)\\
=(3x+5)(-19)\\
=-19(3x+5)$.\\\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{(3x+5)(2x+7)-(6x+10)(x+13)=-19(3x+5)}}$

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(15x-3)(2x+7)-10x+2$.\\
On remarque que : $15x-3=5(3x-1)$ et $-10x+2=-(10x-2)=-2(5x-1)$.\\\\
Par conséquent : \\
$(15x-3)(2x+7)-10x+2=3\underbrace{\textcolor{red}{(5x-1)}}_{a}\underbrace{(2x+7)}_{b}-2\underbrace{\textcolor{red}{(5x-1)}}_{a}=3\textcolor{red}{a}b-2\textcolor{red}{a}$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=5x-1\\b=2x+7\end{array}\right.\\
=a(3b-2)\\
=(5x-1)(3(2x+7)-2)\\
=(5x-1)(6x+21-2)\\
=(5x-1)(6x+19)$.\\
D'où : $\boxed{\textcolor{red}{(15x-3)(2x+7)-10x+2=(5x-1)(6x+19)}}$



\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Avec des identités remarquables}}

\item \textbf{Factoriser} : $9x^2+42x+49$.\\
Il n'y aucun facteur commun donc on recherche si on peut faire apparaÓtre une identité remarquable.\\\\
$9x^2+42x+49=(3x)^2+2\times (3x)\times 7+7^2=a^2+2ab+b^2$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=3x\\b=7\end{array}\right.\\
=(a+b)^2\\
=(3a+7)^2$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{9x^2+42x+49=(3x+7)^2}}$

\item \textbf{Factoriser} : $100x^2-121$.\\
$100x^2-121=(10x)^2-11^2=a^2-b^2$ avec $a=10x$ et $b=11\\
=(a+b)(a-b)\\
=(10x+11)(10x-11)$.\\
D'où : $\boxed{\textcolor{red}{100x^2-121=(10x+11)(10x-11)}}$

\item \textbf{Factoriser} $(2x+9)^2-(3x-13)^2$.\\
On voit que l'expression est la différence de deux carrés, ce qui fait penser à une identité remarquable.\\\\
$(2x+9)^2-(3x-13)^2\\
=a^2-b^2$ avec $a=(2x+9)$ et $b=(3x-13)\\
=(a+b)(a-b)\\
=\left[(2x+9)+(3x-13)\right]\left[(2x+9)-(3x-13)\right]\\
=(2x+9+3x-13)(2x+9-3x+13)\\
=(5x-4)(-x+22)$\\\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{(2x+9)^2-(3x-13)^2=(5x-4)(-x+22)}}$


\subsection{\textcolor{blue}{Avec facteur commun et identités remarquables}}


\item  \textbf{Factoriser} $A=(4x-4)-(5x-13)(x-1)+x^2-1$\\
On remarque que : $4x-4=4(x-1)$ et $x^2-1=x^2-x^2=(x+1)(x-1)$ (identité remarquable).\\
Par conséquent :\\
$A=4\underbrace{\textcolor{red}{(x-1)}}_{a}-\underbrace{(5x-13)}_{b}\underbrace{\textcolor{red}{(x-1)}}_{a}+\underbrace{(x+1)}_{c}\underbrace{\textcolor{red}{(x-1)}}_{a}$\\
$=4\textcolor{red}{a}-b\textcolor{red}{a}+c\textcolor{red}{a}$ avec $a=(x-1)$ ; $b=(5x-13)$ et $=(x+1)$\\
$=a(4-b+c)\\
=(x-1)[4-(5x-13)+(x+1)]\\
=(x-1)(4-5x+13+x-1)\\
=(x-1)(-4x+16)\\
=(x-1)\times 4(-x+4)\\
=4(x-1)(-x+4)$\\\\
D'où : $\boxed{\textcolor{red}{A=(4x-4)-(5x-13)(x-1)+x^2-1=4(x-1)(-x+4)}}$.

\newpage


\item \textbf{Factoriser} $B=x^2-4x+4+(1-5x)(2-x)+(x-2)$\\
On remarque que : $x^2-4x+4=x^2-2\times x\times 2+2^2=(x-2)^2$ (identité remarquable) et que $(2-x)=(-1)\times (x-2)=-(x-2)$.\\\\
Par conséquent : 
$B=x^2-4x+4+(1-5x)(2-x)+(x-2)\\
=(x-2)^2+(1-5x)\times (-1)\times (2-x)+(x-2)\\
=\underbrace{\textcolor{red}{(x-2)}}_{a}\underbrace{(x-2)}_{a}-\underbrace{(1-5x)}_{b}\underbrace{\textcolor{red}{(x-2)}}_{a}+\underbrace{\textcolor{red}{(x-2)}}_{a}$ avec $a=(x-2)$, $b=(1-5x)$\\
$=\textcolor{red}{a}a-b\textcolor{red}{a}+\textcolor{red}{a}\\
=a(a-b+1)\\
=(x-2)[(x-2)-(1-5x)+1]\\
=(x-2)(x-2-1+5x+1)\pm\pm
=(x-2)(6x-2)\\
=(x-2)\times 2(3x-1)\\
=2(x-2)(3x-1)$.\\\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{B=x^2-4x+4+(1-5x)(2-x)+(x-2)=2(x-2)(3x-1)}}$

\subsection{\textcolor{blue}{Quand on ne voit ni facteur commun, ni identité remarquable}}

\item \textbf{Factoriser} $3x^2-5x+18+(3x+2)(5x-9)$.\\
On ne voit ni facteur commun , ni identité remarquable.\\
En développant, on trouve ;\\
$A=3x^2-5x+18+(3x+2)(5x-9)\\
=3x^2-5x+18+(15x^2-27x+10x-18)\\
3x^2-5x+18+15x^2-27x+10x-18\\
=18x^2-22x\\
=9\times \textcolor{red}{2x}\times x-11\times \textcolor{red}{2x}\\
=2x(9x-11)$.\\\\
D'où : $\boxed{\textcolor{red}{3x^2-5x+18+(3x+2)(5x-9)=2x(9x-11)}}$
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}\\
Vous verrez en Première une technique pour factoriser, lorsque cela est possible, toute expression du second degré, c'est-à-dire une expression du type $ax^2+bx+c$, $a$, $b$ et $c$ réels, $a\neq 0$.

\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : toutes les expressions algébriques ne sont pas factorisables !\\
C'est le cas de $x^2+1$ par exemple.





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Pour s'entraîner sur Internet }}


\subsubsection{\textcolor{red}{Consulter par exemple les vidéos suivantes sur Internet}}


\textbf{\textcolor{red}{Avec un facteur commun }}:

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=kQGWtMOHbrA}{ici}

\item cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=UGTFELhE9Dw}{ici}

\item cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=yYpjI3O2rGc}{ici}
\end{enumerate}

\columnbreak

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Avec une identité remarquable :}}\\
Cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=tO4p9TzMrls}{ici}


\subsubsection{\textcolor{red}{Liste d'exercices}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item cliquer \href{https://www.annales2maths.com/exercices-factorisation-facteur-commun/}{ici}

\item cliquer \href{https://fr.khanacademy.org/math/3eme-annee-secondaire/xd903d14ae2b1276e:algebre/xd903d14ae2b1276e:factoriser-une-expression-polynomiale/e/advanced-structure-in-expressions}{ici}
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  