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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD du 22 septembre	}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
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%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ?}}
\begin{enumerate}
\item Tout nombre décimal est un rationnel. \textbf{\textcolor{blue}{VRAI}}
Rappel : $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

\item L'inverse d'un décimal non nul est un décimal. \textbf{\textcolor{blue}{FAUX}}\\
Exemple : 3 est décimal non num, mais son inverse est $\dfrac{1}{3}$ qui n'est pas un décimal.

\item L'inverse d'un rationnel non nul est un rationnel. \textbf{\textcolor{blue}{VRAI}}.
En effet : soit $x$ un rationnel non nul ; il s'écrit sous la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs non nuls.\\
L'inverse de $x$ est alors $\dfrac{1}{\frac{a}b}=\dfrac{b}{a}$ qui le quotient de deux entiers donc aussi un nombre rationnel.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Écrire un nombre naturel de cinq chiffres divisible par 2 et par 3, mais non divisible par 9.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour que le nombre soit divisible par 2, son chiffre des unités doit être 0, 2, 4, 6 ou 8.

\item Pour que le nombre soit divisible par 3, la somme de ses  chiffres doit être divisible par 3.

\item Pour que le nombre ne soit pas divisible par 9, la somme de ses  chiffres ne doit être divisible par 9.
\end{enumerate}
Un nombre possible est $\numprint{30000}$


\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Montrons que la somme de trois entiers naturels consécutifs est toujours divisible par 3.\\
Soit $x$ le nombre intermédiaire ; les trois nombres sont alors $x-1$, $c$ et $x+1$.\\
Leur somme est alors $(x-1)+x+(x+1)=\boxed{\textcolor{red}{3x}}$ qui est bien divisible par 3.

\item Montrons que la somme de cinq entiers naturels consécutifs est toujours divisible par 5.\\
Appelons de même $x$ le nombre intermédiaire.\\
Les cinq nombres sont alors $x-2$, $x-1$, $x$, $x+1$ et $x+2$.\\
La somme vaut $(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)=\boxed{\textcolor{red}{5x}}$ qui est divisible par 5.
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer et simplifier les nombres suivants :

\begin{enumerate}[$A=~$]
\item $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{1\times 3}{3\times 5}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{3}{10}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{3\times 7-10\times 2}{10\times 7}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{70}}}$.

\item $\dfrac{\frac12+\frac35}{1-\frac 56}=\dfrac{\frac{1\times 5+2\times 3}{2\times 5}}{\frac{6-5}{6}}=\dfrac{\frac{11}{10}}{\frac{1}{6}}=\dfrac{11}{10}\times 6=\dfrac{11\times \cancel{2}\times 3}{\cancel{2}\times 5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{33}{5}}}$

\item $(-2)^4=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=\boxed{\textcolor{red}{16}}$

\item $-2^4=(-1)\times 2^4=(-1)\times 16=\boxed{\textcolor{red}{-16}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item %Écrire la décomposition de 48 en produit de facteurs premiers.
$48=1§\times 3=\boxed{\textcolor{red}{2^4\times 3}}$.

\item %En déduire la décomposition de 144 et de 480 en produit de facteurs premiers.
$144=3\times 48=3\times \left(2^4\times 3\right)=\boxed{\textcolor{red}{2^4\times 3^2}}$.

\item %Trouver le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $48n$ soit un carré.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $n=2$, $48n=2^4\times 3^2\times 2=2^5\times 3$ qui n'est pas un carré.

\item Pour $n=3$ car alors, $48n=48\times n=2^4\times 3\times 3=2^4\times 3^2=\left(2^2\times 3\right)^2$ qui est un carré (carré d'un 
\end{enumerate}nombre entier)
\end{enumerate}

On dit qu'un nombre est parfait si la somme de ses diviseurs est égale au double du nombre lui-même.
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que 6 et 28 sont parfaits.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble des diviseurs de 6 est $\mathscr{D}(6)=\{1~;~2~;~3~;~6\}$.

$1+2+3+6=12=2\times 6$ donc 6 est parfait.

\item L'ensemble des diviseurs de 28 est $\mathscr{D}(28)=\{1~;~2~;~4~;~7~;~14~;~28\}$.

$1+2+4+7+14+28=56=2\times 56$ donc $28$ est un nombre parfait.

\end{enumerate}
\item Au III\ieme{} siècle avant J.-C., Euclide a donné la formule donnant tous les nombres parfaits pairs. Ce sont les nombres de la forme $2^{n-1}(2^n-1)$, où $n$ est un entier naturel premier et  $2^n-1$ est également un nombre premier.\\
Donner les trois premiers nombres parfaits que cette formule permet de trouver.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $n=2$ ; $2$ est premier et $2^n-1=2^2-1=3$ qui est premier, donc $2\times \left(2^2-1\right)=2\times 3=6$ qui est bien parfait (voir 1)).

$n=3$ ; 3 est premier et $2^{n}-1=2^3-1=7$ qui est premier, donc $2^2\times \left(2^3-1\right)=4\times 7=28$ qui est bien parfait (voir 1)).

$n=5$ ; $5$ est premier et $2^5-1=31$ qui est premier donc $2^4\left(2-5-1\right)=16\times 31=496$

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : les nombres parfait sont rares. on n'en connaît actuellement que 40 (dont 3 inférieurs à \numprint{1000}).

Le plus grand connu possède \numprint{12640858} chiffres et est égal à : $2^{\numprint{20996010}}\left(2^{\numprint{20996011}}-1\right).$.

(\emph{Remarque : on n'a toujours pas trouvé de nombre parfait impair ; on sait seulement que s'il existe, il aurait un facteur premier supérieur à \nombre{300000} et il serait supérieur à $10^{300}$ !)}

On ne sait pas non plus si le nombre de nombres parfaits est fini ou infini.

Pour en savoir davantage, voir \href{http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/les-nombres-parfaits}{ici}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Somme de puissances de 2}}
\begin{enumerate}
\item %Vérifier, pour tout entier naturel $n$, l'égalité : $2^n=2^{n+1}-2^n$.
$2^{n+1}-2^n=2^n\left(2-1\right)=2^n\times 1=2^n$.

\item %En déduire une expression plus simple de la somme : $1+2+4+8+16+\cdots+2^{100}$.
$1+2+4+8+16+\cdots+2^{100}=2^0+2+4+8+16+\cdots+2^{100}\\
=\left(2^1-2^0\right)+\left(2^2-2^1\right)+\left(2^3-2^2\right)+\cdots+\left(2^{100}-2^{99}\right)+\left(2^{101}-2^{100}\right)=2^{101}-2^0=\boxed{\textcolor{red}{2^{101}-1}}$.

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : ce nombre vaut :

\numprint{2535301200456458802993406410751}
\end{enumerate}


%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  