\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} correction du TD sur intersection, réunion et valeurs absolues}}\end{center}




\subsection{}

\begin{enumerate}[a)]
\item $]0~;~7[ \cap ]-\infty~;~1]=]0~;~1]$. (Partie coloriée deux fois)

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-7,-1)(10,1)
\uput[u](1,0){1}\uput[u](7,0){7}\uput[u](0,0){0}
\psline(-7,0)(10,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,-0.2)(7,-0.2)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-7,-0.4)(1,-0.4)
%crochets
\psline[linecolor=red](-0.2,0.1)(0,0.1)
\psline[linecolor=red](-0.2,-0.4)(0,-0.4)
\psline[linecolor=red](0,0.1)(0,-0.4)
\psline[linecolor=red](7.2,0.1)(7,0.1)
\psline[linecolor=red](7.2,-0.4)(7,-0.4)
\psline[linecolor=red](7,0.1)(7,-0.4)

\psline[linecolor=blue](0.8,-0.1)(1,-0.1)
\psline[linecolor=blue](1,-0.1)(1,-0.7)
\psline[linecolor=blue](0.8,-0.7)(1,-0.7)
\end{pspicture}

\item $[-7~;~9] \cap ]-\infty~;~-3[=[-7~;~-3[$. (On exclut -3 puisqu'il n'appartient pas au deuxième intervalle)


\item $[-7~;~9] \cup ]-\infty~;~-3[=]-\infty~;~9]]$.

\item $[-1~;~0] \cap ]-2~;~0]=[-1~;~0]$ car $[-1~;~0]$ est inclus dans $ ]-2~;~0]$.

\end{enumerate}


%\end{multicols}
\subsection{}
Compléter le tableau :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|X|}\hline
$I$&$J$&$I \cap J$&$I \cup J$\\
\hline
$[5~;~19]$&$]-\infty~;~0[$&$\emptyset$&$[5~;~19] \cup ]-\infty~;~0[$\\
\hline
$]-\infty~;~-2]$&$]-2~;~3]$&$\emptyset$&$]-\infty~;~3]$\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{}
Calculer : 





\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\vert 4-6 \right\vert=\left\vert -2 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ car $\left\vert x \right\vert$ est la distance de $x$ à 0 et est toujours un nombre positif.

\item $\left\vert 3,14-\pi \right\vert=-(3,14-\pi)=\boxed{\textcolor{red}{\pi-3,14}}$ car $\pi>3,14$ donc $3,14-\pi$ est négatif et $\left\vert x \right\vert=-x$ si $x$ est négatif.

\item $\left\vert \sqrt{2}-\sqrt{3} \right\vert=-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$ car $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ donc $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ est négatif.

\end{enumerate}





\subsection{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item %Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\left\vert x \right\vert=7$.
$\left\vert x \right\vert=7$ a pour solutions -7 et 7 car $\left\vert x \right\vert$ est la distance de $x$ à 0, donc on doit s'éloigner de 7 unités de 0 vers la gauche ou la droite.$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-7~;~7\}}}$

\item %Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\left\vert x-3 \right\vert=2$. (On pourra s'aider d'un graphique)
$\left\vert x-3 \right\vert$ est la distance de $x$ à 3. Cette distance est égale à 2, donc $x$ est à deux unité à gauche ou à droite de 3. L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1~;~5\}}}$

\item %Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\left\vert x+6 \right\vert=5$. (Transformer d'abord $\left\vert x+6 \right\vert$ )
$\left\vert x+6 \right\vert=5$ s'écrit $\left\vert x-(-6) \right\vert=5$ ; $\left\vert x+6 \right\vert$ est donc la distance de $x$ à -6.\\
$x$ doit être à 5 unités à gauche ou à droite de -6 ; l'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-11~;~-1\}}}$

\item L'équation $\left\vert x+4\sqrt{3} \right\vert=-1$ n'a pas de solution car la valeur absolue d'un nombre est toujours positive et -1 est négatif ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\left\vert x-5 \right\vert<1$.\\
La distance de $x$ à 5 soit être inférieure à 1, donc $x$ doit être à moins d'une unité à gauche ou à droite de 1.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]4~;~6[}}$.

\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\left\vert x+3 \right\vert\leqslant 21$.\\
$\left\vert x+3 \right\vert\leqslant 21$ équivaut à $\left\vert x-(-3) \right\vert\leqslant 21$.\\
La distance de $x$ à -3 doit être inférieure ou égale à 21, donc $x$ doit être à moins de 21 unités à gauche ou à droite de -3.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-24~;~18]}}$.

\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\left\vert x-2 \right\vert>3$.\\
La distance de $x$ à 2 doit être strictement supérieure à 3, donc $x$ doit être à plus de 3 unités de 2, à gauche ou à droite.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-1[ \cup ]5~;~+\infty[}}$.\\
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-1)(10,1)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-5,0)(-1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](5,0)(10,0)
\psline(-1,0)(5,0)
\uput[u](-1,0){-1}\uput[u](2,0){2}\uput[u](5,0){5}
\psline[linecolor=red]{<->}(-1,-0.2)(2,-0.2)\psline[linecolor=blue]{<->}(2,-0.2)(5,-0.2)
\uput[d](0.5,-0.2){3}\uput[d](3.5,-0.2){3}
\end{pspicture}

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  