\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde 6 : correction du TD (révisions)}}\end{center}
%Sources : https://www.capes-de-maths.com/3eme/Devoirs1011/Pythagore.pdf





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère le triangle suivant :
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,4)
\pstGeonode(0,0){G}
\pstGeonode[PosAngle=90](0,3.245){Z}
\pstGeonode[PosAngle=90](5.4,3.245){A}
\pstRightAngle{G}{Z}{A}
\pstLineAB{G}{Z}
\pstLineAB{A}{Z}
\pstLineAB{G}{A}
\pstLabelAB{Z}{A}{5,4 cm}
\pstLabelAB{G}{A}{6,3 cm}
\end{pspicture}
\end{center}
%Calculer la longueur GZ.
Le triangle GAZ est rectangle en $Z$.\\
On applique le théorème de Pythagore : $GA^2=GZ^2+ZA^2$ donc $GZ^2=GA^2-ZA^2=6,3^2-5,4^2=10,53$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{GZ=\sqrt{10,53}}}$ (valeur exacte)

\subsection{}
On considère la figure suivante :\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3,1.5)
\pstGeonode[PosAngle=180](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=-90](1,0){C}\pstGeonode[PosAngle=0](2,1){D}\pstGeonode[PosAngle=135](0,1){B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslash]{A}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslash]{A}{C}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{C}{D}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{C}{B}
\pstLineAB{B}{D}
\pstLabelAB[nrot=:D]{C}{A}{1 cm}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{C}{A}{B}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.2]{D}{C}{B}
\end{pspicture}
\end{center}
%Calculer la longueur BD.
La figure est codée : $AB=AC=1$ cm.\\
$ABC$ est rectangle en $A$ ; d'près le théorème de Pythagore, $BC^2=1^2+1^2=2$ donc $BC=\sqrt{2}$.\\
De même, $CB=CD$.\\
Le théorème de Pythagore donne : $BD^2=CB^2+CD^2=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2=2+2=4$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{BD=2\text{~cm}}}$

\subsection{}
Soit le triangle $FOU$ tel que : $FU=13$, $FO=12$ et $OU=5$.\\
%Ce triangle est-il rectangle ?
Le plus grand côté est $FU=13$.\\
$FU^2=13^2=169$.\\
$FO^2+OU^2=12^2+5^2=144+25=169$.\\
Donc : $FU^2=FO^2+OU^2$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de }Pythagore}, $FOU$ est rectangle (en $O$).


\columnbreak

\subsection{}
On considère la figure suivante.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,6)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(6,5)
\pstGeonode[PosAngle=-90](1,0){R}
\pstGeonode[PosAngle=180](0,3){C}
\pstGeonode[PosAngle=45](0,0){S}
\pstGeonode[PosAngle=45](6,5){A}
\pstGeonode[PosAngle=0](6,0){Z}\pstGeonode[PosAngle=135](0,5){T}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{R}{A}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{A}{C}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{C}{R}
\end{pspicture}
\end{center}
%Le triangle $RAC$ est-il rectangle ?
On utilise le quadrillage pour mesurer les longueurs, en prenant comme unité de longueur un côté des carrés constituant le quadrillage.\\
On applique plusieurs fois le théorème de Pythagore :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $CR^2=RS^2+SC^2=1^2+3^2=10$.

\item $RA^2=RZ^2+ZA^2=5^2+5^2=50$

\item $CA^2=CT^2+TA^2=2^2+6^2=40$
\end{enumerate}
$RA^2=50$ et $CR^2+CA^2=50$ donc $RA^2=CR^2+CA^2$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, $RAC$ est rectangle (en $C$).

\subsection{}
On considère la figure suivante :
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,5.5)
\pstGeonode[PosAngle=180](0,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=-90](4,0){H}\pstGeonode[PosAngle=-90](7,0){C}\pstGeonode[PosAngle=90](4,5){A}
\pstLineAB{B}{C}\pstLineAB{A}{C}\pstLineAB{B}{A}\pstLineAB{A}{H}
\pstLabelAB[nrot=:D]{H}{B}{4}\pstLabelAB[nrot=:D]{C}{H}{3}
\pstLabelAB{A}{C}{6}\pstLabelAB{A}{H}{5}
\end{pspicture}
\end{center}
%La droite $(AH)$ est-elle une hauteur du triangle $ABC$ ?
Dans le triangle $AHC$, le plus grand côté est $AC=6$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC^2=25$

\item $AH^2+HC^2=5^2+3^2=25+9=34$.

\item $\boxed{\textcolor{red}{AC^2\neq AH^2+HC^2}}$ ; d'après la \textbf{\textcolor{red}{contraposée du théorème de Pythagore}}, ce triangle n'est  pas rectangle.\\
Or, une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire à la base associée, donc $(AH)$ n'est pas une hauteur du triangle $ABC$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  