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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la colinéarité}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$ABC$ est un triangle \textbf{quelconque}, $A'$ est le milieu de $[BC]$, $B'$ celui de $[CA]$ et $C'$ celui de $[BA]$.
\begin{enumerate}
\item Représenter la somme vectorielle \[\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\] en partant de $A$. 

À quoi semble être égale cette somme ?

\item Que représente géométriquement la somme $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ?

\item En déduire que $\overrightarrow{AA'}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

\item Écrire  $\overrightarrow{BB'}$ et $\overrightarrow{CC'}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ (en prenant modèle sur la question 2.).

\item En déduire alors la valeur de la somme initiale.
\end{enumerate}

\subsection{}
Représenter les points  A(- 1~;~3),  B(1~;~2),  C(-5~;~1)  et  D(1~;~-2)  dans un repère  $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer les coordonnées des vecteurs    $\overrightarrow{AB}$  et    $\overrightarrow{CD}$.

\item Les droites $(AB)$ et ($CD)$  sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}
Compléter :

\bigskip

{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
ÉGALITÉ&&CONFIGURATION GÉOMÉTRIQUE\\
\hline
$\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{TU}$&revient à dire que&\\
\hline
&revient à dire que&$I$\text{ est le milieu de }[MN]\\
\hline
$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{MN}$&revient à dire que&\\
\hline
&revient à dire que&$X$, $Y$ et $Z$ sont alignés\\
\hline
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}$&revient à dire que&\\
\hline
&revient à dire que&$(IJ)$ et $(RS)$ sont parallèles\\
\hline
$\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{MN}$&revient à dire que&\\
\hline
&revient à dire que&$(DJ)$  et $(CP)$\text{ sont parallèles}\\
\hline
$\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{OL}$& revient à dire que&\\
\hline
&revient à dire que&$EFGH$  est un parallélogramme\\
\hline
\end{tabular}}

\subsection{}
$ABC$ est un triangle. Soient $M$ et $N$ deux points définis par :$\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\text{ et }\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{AC}$
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.\\
\emph{Indication} : on pourra utiliser la relation de Chasles pour écrire que : $\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CN}$.

\item Soit $P$ défini par : $\overrightarrow{BP }=3\overrightarrow{BC}$.\\
Montrer que $\overrightarrow{NP}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  
