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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : TD du 22 septembre	}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou faux ?}}
\begin{enumerate}
\item Tout nombre décimal est un rationnel.

\item L'inverse d'un décimal non nul est un décimal.

\item L'inverse d'un rationnel non nul est un rationnel.
\end{enumerate}

\subsection{}
Écrire un nombre naturel de cinq chiffres divisible par 2 et par 3, mais non divisible par 9.

%\subsection{}
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que tout nombre entier naturel peut s'écrire comme la somme d'un multiple de 100 et d'un nombre inférieur à 100.
%
%\item En déduire que cet entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par le chiffre des dizaines et celui des unités est lui-même divisible par 4.
%
%\item même question avec 25.
%\end{enumerate}
%
%\subsection{}
%Dans chacun des cas suivants, déterminer le(s) chiffre(s) $a$, $b$, $c$ sachant que : 
%\begin{enumerate}
%\item $\overline{23a4}$ est divisible par 3.
%
%\item $\overline{23a4}$ est divisible par 3 mais pas par 9.
%
%\item $\overline{23b5c}$ est divisible par 3 et par 5.
%\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la somme de trois entiers naturels consécutifs est toujours divisible par 3.
\item Montrer que la somme de cinq entiers naturels consécutifs est toujours divisible par 5.
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer et simplifier les nombres suivants :

\begin{enumerate}[$A=~$]
\item $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{7}$

\item $\dfrac{\frac12+\frac35}{1-\frac 56}$

\item $(-2)^4$

\item $-2^4$
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Écrire la décomposition de 48 en produit de facteurs premiers.

\item En déduire la décomposition de 144 et de 480 en produit de facteurs premiers.

\item Trouver le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $48n$ soit un carré.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nombres parfaits}}
On dit qu'un nombre est parfait si la somme de ses diviseurs est égale au double du nombre lui-même.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que 6 et 28 sont parfaits.

\item Au III\ieme{} siècle avant J.-C., Euclide a donné la formule donnant tous les nombres parfaits pairs. Ce sont les nombres de la forme $2^{n-1}(2^n-1)$, où $n$ est un entier naturel non nul tel que $2^n-1$ soit un nombre premier.\\
Donner les trois premiers nombres parfaits que cette formule permet de trouver.\\\\
(\emph{Remarque : on n'a toujours pas trouvé de nombre parfait impair ; on sait seulement que s'il existe, il aurait un facteur premier supérieur à \nombre{300000} et il serait supérieur à $10^{300}$ !)}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Somme de puissances de 2}}
\begin{enumerate}
\item Vérifier, pour tout entier naturel $n$, l'égalité : $2^n=2^{n+1}-2^n$.

\item En déduire une expression plus simple de la somme : $1+2+4+8+16+\cdots+2^{100}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  